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L'Utilité

From Baripedia

Les fonctions d'utilité[edit | edit source]

Une fonction d’utilité est un moyen d’assigner un chiffre à chaque panier de consommation possible, de manière à ce que les paniers préférés reçoivent une notation plus élevée que ceux qui leur sont moins préférés.

Modèle du bien être économique d'une personne.

Résultat fondamental: Une relation de préférences complète, réflexive, transitive et continue peut être représentée par une fonction d'utilité continue.

Pour chaque relation de préférence imaginable, remplissant ces critères, vous pouvez trouver une fonction d'utilité continue qui représente cette relation.

Une fonction d'utilité représente une relation de préférence si et seulementt si :

L'utilité est un concept ordinal (i.e. un classement).

Si and alors le panier est strictement préféré au panier . On ne peut pas dire que est préféré 3 fois plus que .

Les fonctions d'utilités et les CI[edit | edit source]

Considérons les paniers (4,1), (2,3) et (2,2). Supposons .

Assignons à ces paniers un chiffre qui préserve le classement des préférences :

e.g. .

Appelons ces chiffres des niveaux d'utilité.

Une CI contient tous les paniers également préférés.

Également préféré => même niveau d'utilité.

Donc tous les paniers sur une CI apporte le même niveau d'utilité.

Les paniers (4,1) et (2,2) sont donc sur la même CI qui apporte U º 4.

Le panier (2,3) est sur la CI qui apporte .

Sur un graphique dans l'espace des biens, cela se représente comme ceci :

Microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 1.png

Une autre façon de le visualiser est d'ajouter l'utilité comme un 3ème axe, vertical.

Microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 2.png

Nous pouvons ajouter les CI sur ce graphique en 3D :

Microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 3.png

En comparant plus de paniers, nous pouvons obtenir une représentation de plus en plus claire des préférences d'un agent :

Microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 4.png

En ajoutant un axe vertical représentant l'utilité (3D) :

Microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 5.png

En comparant l'ensemble total des paniers de bien nous pouvons avoir l'ensemble des courbes d'indifférence.

Elles représentent complètement les préférences d'un agent.

Microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 6.gif

L'ensemble de toutes les courbes d'indifférence d'une relation donnée est appelé une carte d'indifférence.

Une carte d'indifférence est équivalente à une fonction d'utilité.

Géographes: cela vous rappelle-t-il quelque chose ?

Les fonctions d'utilité[edit | edit source]

Il n'existe pas une unique représentation d'une relation de préférence (important).

Supposons que représente une relation de préférence.

Considérons à nouveau les 3 paniers (4,1), (2,3) et (2,2).

, soit :

  • ;
  • d'où, .

=> .

Nous avons donc trouvé une fonction d'utilité qui représente la relation de préférence

Maintenant, considérons .

Donc et

Nous avons donc, une fois encore, =>

préserve le même ordonnancement que U et représente donc les mêmes préférences.

Définissons .

Alors, soit, .

Une fois encore .

préserve le même ordonnancement que et et représente donc les mêmes préférences.

Toute transformation monotone positive d’une fonction d’utilité est elle-même une fonction d’utilité admissible.

On ne peut pas faire de comparaison entre différentes personnes (différentes préférences) en fonction de leur niveau d'utilité !

"Jacques préfère plus le panier (4,2) que Jean car son utilité est de 6 et celle de Jean de 3." n'est pas un raisonnement valide.

Des Bien Substituts[edit | edit source]

L'utilité pour ces biens substituts s'écrit .

CI de biens substituts.

Elles sont toutes linéaires et parallèles.

Des biens complémentaires[edit | edit source]

L’utilité pour des compléments parfaits s’écrit : .

CI de biens complémentaires.

Quelques autres formes standards[edit | edit source]

Une fonction d’utilité de la forme est linéaire en et se dénomme “Utilité Quasi-Linéaire”:.

E.g. .

Une fonction d’utilité de la forme avec et est dénommée utilité Cobb-Douglas. Une des spécifications les plus utilisée.

E.g.
 ; ()
 ; ()

Utilité Marginale[edit | edit source]

Marginal signifie “incrémental”.

L’utilité marginale d’un bien spécifie la manière dont l’utilité change quand la consommation de augmente.

Échec d'analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle UM_i = \frac {∂ U(X)}{∂ x_i}}

Hypothèse: typiquement, la satisfaction qu’un agent retire de la consommation d’une unité d’un bien diminue avec les quantités consommées (toutes choses égales par ailleurs).

La non-satiété implique cependant que l’agent est toujours plus heureux avec plus d’un bien.

Cela implique donc que la fonction d’utilité est croissante et concave dans les quantités consommées d’un bien.

L’utilité marginale est donc positive, et sa dérivée négative.

Donc, si , alors :

Échec d'analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle UM_i = \frac {∂U}{∂ x_1} = \frac {1}{2} x_1^{-\frac {1}{2}} x_2^{\frac {1}{2}}}
Échec d'analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle UM_i = \frac {∂U}{∂ x_2} = \frac {1}{2} x_1^{\frac {1}{2}} x_2^{-\frac {1}{2}}}

Lien entre le TMS et l’Utilité Marginale[edit | edit source]

Microéconomie utilité lien entre le TMS et l’Utilité Marginale 1.png

En allant de vers  :

  • De vers on perd de l’utilité
Perte =
  • De vers on gagne de l’utilité
Gain =
  • Or, entre et , Perte = Gain

Um et TMS un exemple[edit | edit source]

Supposons . Alors,

Échec d'analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle UM_i = \frac {∂U}{∂ x_1} = \frac {1}{2} x_1^{-\frac {1}{2}} x_2^{\frac {1}{2}}}
Échec d'analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle UM_i = \frac {∂U}{∂ x_2} = \frac {1}{2} x_1^{\frac {1}{2}} x_2^{-\frac {1}{2}}}

où,

Échec d'analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle TMS = \frac {\frac {∂U}{∂ x_1}}{\frac {∂U}{∂ x_2}} = \frac {x_2}{x_1}}
Microéconomie utilité Um et TMS un exemple 1.png

Transformation Monotone de l’Utilité et TMS[edit | edit source]

Si , où est une fonction strictement croissante, alors :

Échec d'analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle TMS = - \frac {\frac {∂V}{∂ x_1}}{\frac {∂V}{∂ x_2}} = - \frac {\frac {f'(U) \times ∂U}{∂ x_1}}{\frac {f'(U) \times ∂U}{∂ x_2}} = - \frac {\frac {∂U}{∂ x_1}}{\frac {∂U}{∂ x_2}}}

Le TMS est inchangé par cette transformation !

Annexes[edit | edit source]

Références[edit | edit source]