Théorie des jeux

La théorie des jeux est une approche visant à modéliser les comportements stratégiques des agents (individus, firmes, pays...).

Les agents prennent en compte la stratégie des autres pour définir leur plan d’actions.

Environnement ou les actions des agents ont un impact sur le gain des autres.

Applications

Oligopoles, cartels (OPEC)...

Externalités, bien public, ressources naturelles (tragédie des communs).

Théorie des contrats, processus de négociation.

Négociations internationales, conflits...

Un jeu ?

Un jeu consiste en,

• Un ensemble de joueurs,
• Un ensemble de stratégies pour chaque joueur,
• Un ensemble de gains pour chaque joueur, spécifiés pour chaque stratégie des autres joueurs.

Dans cette séance: seulement des jeux à deux joueurs, avec deux actions chacun.

NB: Une stratégie est un ensemble d’actions, contingente aux actions des autres joueurs.

Une Stratégie

Intuition: pour chaque action de l’autre joueur, elle spécifie l’action à prendre. Vous pourriez écrire une stratégie afin qu’un ami joue pour vous.

Concept de “Meilleure réponse” : meilleure action possible, étant donné l’action jouée par l’autre joueur.

2 joueurs

2 joueurs : 1 et 2.

• Joueur 1 : actions possibles, “Haut” et “Bas”.
• Joueur 2 : actions possibles,“Gauche” et “Droite”.

La table qui montre les gains de chaque joueur en fonction des actions jouées est appelée matrice des gains.

Les gains de 1 sont en premier dans la parenthèse, les gains de 2 sont en deuxième. Les joueurs jouent simultanément.

E.g. 1 joue “Haut” et 2 joue “Droit”: gain de 1 est 1 et gain de 2 est 8.

Quels types de résultats sont les plus probables ?

Si 2 joue “D” quelle est la meilleure réponse de 1 ?

(B,D) est crédible ?

Si 2 joue “D” quelle est la meilleure réponse de 1 ?

Si 1 joue “B” quelle est la meilleure réponse de 2 ?

Si 1 joue “H” quelle est la meilleure réponse de 2 ?

Si 2 joue “G” quelle est la meilleure réponse de 1 ?

(H,B) ?

Équilibre de Nash

Quand les stratégies sont des meilleures réponses les unes aux autres, on parle d’équilibre de Nash.

A un équilibre de Nash, un joueur obtient un gain maximal étant donné la stratégie de l’autre joueur.

Autre façon de l’interpréter: à un équilibre de Nash, aucun joueur ne veut changer d’action, étant donné la stratégie de l’autre joueur.

Notre exemple a deux équilibres de Nash; (H,G) et (B,D).

(H,G) et B,D) sont des eq. de Nash.

L’équilibre (3,9) va-t-il être plus joué car préféré par les 2 joueurs ?

Dilemme du prisonnier

Jeu emblématique de la théorie. Permet d’illustrer que les situations Pareto-Optimale ne sont pas toujours naturellement choisies.

Bonnie et Clyde sont arrêtés par la police à bord d’une voiture volée. Un cadavre est dans le coffre. La police a des preuves suffisantes pour les inculper du vol de voiture, mais pas du meurtre : il faut un aveu.

Le sheriff interroge B et C séparément et leur propose un deal sur leurs peines respectives.

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Si Bonnie joue “Silence”, qu’elle est la meilleure réponse de Clyde ?

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Si Bonnie joue “Confession” qu’elle est la meilleure réponse de Clyde ?

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Quoi que joue Bonnie, Clyde va toujours jouer “confession”.

Confesser est une stratégie dominante pour Clyde. De même pour Bonnie.

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Le seul éq. de Nash du jeu: (C,C). Est-il efficace ? Conclusion ?

Une stratégie dominante est une stratégie qui apporte le gain maximal à un joueur, quelque soit la stratégie utilisée par les autres joueurs.

Un équilibre en Stratégie Dominante: quand chaque joueur utilise une stratégie dominante.

Concept d’équilibre plus fort que l’équilibre de Nash (eq. en strat dom. est toujours un eq. de Nash, l’inverse n’est pas vrai).

Course aux armements

Pur problème de coordination.

N.B. ≠ du dilemme du prisonnier : ici deux équilibres – (Non, Non) et (Oui, Oui) – dont un Pareto supérieur.

Jeu de la poule mouillée

Conflit pur.

Solutions : engagement (on bloque le volant) ou jeux répétés (réputation)

N.B. deux équilibres – (Tout droit, Détour) et (Détour, Tout droit) – dont aucun n’est Pareto supérieur.