Maximisation du Profit

En économie, le profit est les revenus moins les coûts.

• Profit = revenus – coûts.
• Revenus : Prix $x$ Quantités vendues.
• Coûts : Coûts par unité produite $x$ Quantités vendues.

NB : Coût par unité vendue dépend du prix des facteurs de production.

Une firme utilise des inputs $j=1...,m$ pour produire des biens $i=1,...n$.

La quantité produite de chaque bien est $y_{1},...,y_{n}$.

La quantité d’inputs est $x_{1},...,x_{m}$.

Le prix des biens est $p_{1},...,p_{n}$.

Le prix des inputs est $w_{1},...,w_{m}$.

Cas simple

Nous considérons que la firme est dans un environnement compétitif: les prix $p_{1},...,p_{n}$ et $w_{1},...,w_{m}$ sont donnés à la firme (elle ne peut pas les changer par elle même).

Nous allons étudier plus avant ce qu'est un environnement compétitif la séance prochaine.

Profit Economique

Le profit économique généré par le plan de production ($x_{1},...,x_{m},y_{1},...,y_{n}$) est : $\Pi =p_{1y_{1}}+\dots +p_{ny_{n}}-\dots w_{m}x_{m}$.

Une firme cherchera rationnellement à maximiser ses profits (son revenu sous contrainte de coût).

Courbe d’Iso Profit de Court Terme

Une courbe d'Iso Profit contient tous les plans de production qui permettent d'atteindre un profit donné :

$\pi \equiv py-w_{1}x_{1}-w_{2}{\widetilde {x}}_{2}$

I.e.

$y={\frac {w_{1}}{p}}x_{1}+{\frac {\pi +w_{2}{\widetilde {x}}_{2}}{p}}$

Le problème de la firme consiste à atteindre la courbe d'iso-profit la plus élevée possible sous contrainte de la fonction de production.

Optimum: pente iso profit et fonction de prod. De CT sont égales.

Maximisation du profit de court terme

$Pm_{1}={\frac {w_{1}}{p}}\Leftrightarrow Pm_{1}=w_{1}$

$p\times Pm_{1}$ correspond à l'effet marginal de l'input $1$ sur le revenu. À l'eq = à son prix.

Si $p\times Pm_{1}>w_{1}$ profit augmente avec $x_{1}$ .

Si $p\times Pm_{1}<w_{1}$ profit diminue avec $x_{1}$.

Changement de prix :

$y={\frac {w_{1}}{p}}\times x_{1}+{\frac {\pi +w_{2}{\widetilde {x}}_{2}}{p}}$

Une augmentation de $p$ cause :

• une diminution de la pente,
• une diminution de la constante.

Une augmentation de $p$ cause donc,

• une augmentation de la quantité produite (l'offre de la firme est croissante dans les prix).
• une augmentation de la demande de la firme pour le facteur variable.

Changement du prix du facteur variable :

$y={\frac {w_{1}}{p}}\times x_{1}+{\frac {\pi +w_{2}{\widetilde {x}}_{2}}{p}}$

Une augmentation de $w_{1}$ cause

• une augmentation de la pente
• aucun changement dans la constante.

Une augmentation du prix du facteur variable cause donc

• une diminution de la production,
• une diminution de l'utilisation du facteur variable.

Maximisation du profit de long terme

Désormais la firme peut choisir les niveaux de tous ses facteurs.

Il n'y a pas de coûts fixes quand on considère la décision de long terme.

$y={\frac {w_{1}}{p}}\times x_{1}+{\frac {\pi +w_{2}{\widetilde {x}}_{2}}{p}}$

Une augmentation de l'input 2 cause :

• aucun changement dans la pente.
• une augmentation de la constante.

Et la productivité du facteur 1 augmente.

$p\times MP_{1}-w_{1}=0$ pour chaque plan de prod. de CT.

$p\times MP_{1}-w_{1}=0$

Le profit va augmenter avec x2 tant que l'impact marginal de ce facteur respecte $p\times Pm_{2}-w_{2}>0$

La quantité du facteur 2 qui maximise le profit est donc $p\times Pm_{2}-w_{2}=0$

Et $p\times Pm_{1}-w_{1}=0$ est satisfait à l'éq. De court terme,

Les quantités d'inputs qui maximisent le profit de long terme sont donc celles qui amènent :

$p\times Pm_{1}-w_{1}=0$ et $p\times Pm_{2}-w_{2}=0$

En mots, la contribution marginale d'un facteur au revenu est égale à son coût.

Maximisation du profit et rendements d'échelle

Si la technologie qu'utilise une firme (dans un environnement compétitif) a des rendements d'échelle décroissants, alors le plan de production qui maximise son profit est unique.

Rendements décroissants.

Si la technologie qu'utilise une firme (dans un environnement compétitif) a des rendements d'échelle croissants, alors le plan de production qui maximise son profit n'existe pas!

Une technologie avec des rendements croissants est incompatible avec un environnement compétitif.

En pratique ?

En partant d'un plan de production donné, qui apporte un profit positif, la firme peut doubler le nombre d'inputs, et ainsi doubler sa production et doubler son profit.

Donc des rendements constants demandent qu'une firme en compétition ne fasse aucun profit (mais aucune perte).