Le Choix

La rationalité économique

L'hypothèse comportementale de la rationalité nous permet d'affirmer que le consommateur va sélectionner la meilleure alternative possible qui s'offre à lui.

Démarche : Le consommateur doit faire un choix sous contrainte.

Il va sélectionner l'alternative qui lui apporte la plus grande satisfaction étant donné ses contraintes.

Formellement : maximisation de la fonction d'utilité sous la contrainte de budget.

L'ensemble des choix possibles (respectant la contrainte de budget) est l'ensemble des choix.

Où se situe le meilleur choix possible sur le graphique usuel à deux biens ?

Choix rationnel contraint

Le Choix optimal

($x_{1}^{*},x_{2}^{*}$) est le panier préféré parmi ceux que l'agent peut s'offrir.

Choix optimal

Confrontation entre préférences et possibilités

Pourquoi le panier b domine-t-il tous les autres ?

Le panier préféré pour un agent, étant donné les prix et le revenu, est dénoté par ($x_{1}^{*},x_{2}^{*}$).

Il se trouve sur la courbe d’indifférence la plus haute possible, tout en étant sur la contrainte budgétaire

Nous allons utiliser ces propriétés pour le déterminer formellement.

($x_{1}^{*},x_{2}^{*}$) satisfait 2 conditions:

(a) tout le budget est dépensé; $p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}=m$

(b) La pente de la droite de budget, $-{\frac {p_{1}}{p_{2}}}$, et la pente de la CI contenant ($x_{1}^{*},x_{2}^{*}$) sont égales à ($x_{1}^{*},x_{2}^{*}$).

Cette information va nous permettre de trouver le panier optimal, étant donné des préférences (une fonction d'utilité), des prix et le revenu.

Exemple

Supposons les préférences suivantes :

$U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}x_{2}^{b}$

Alors :

Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle UM_1 = \frac {∂U}{∂ x_1} = \frac {1}{2} x_1^{-\frac {1}{2}} x_2^{\frac {1}{2}}}

Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle UM_2 = \frac {∂U}{∂ x_2} = \frac {1}{2} x_1^{\frac {1}{2}} x_2^{-\frac {1}{2}}}

Utilité Cobb-Douglas

Le TMS est égal à :

Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle TMS = \frac {dx_2}{dx_1} = - \frac {\frac {∂U}{∂ x_1}}{\frac {∂U}{∂ x_2}} = - \frac {ax_1^{a - 1}x_2^b}{bx_1^ax_2^{b - 1}} = - \frac {ax_2}{bx_1}}

À ($x_{1}^{*},x_{2}^{*}$), $TMS=-{\frac {p_{1}}{p_{2}}}$ soit :

Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle - \frac {ax_2}{bx_1} = - \frac {p_1}{p_2} ⇒ x_2^* = \frac {bp_1}{ap_2} x_1^*} (A)

($x_{1}^{*},x_{2}^{*}$) utilise tout le budget :

$p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}=m$ (B)

Nous savons donc que $x_{2}^{*}={\frac {bp_{1}}{ap_{2}}}x_{1}^{*}$ (1) en substituant $x_{2}^{*}$ dans $p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}=m$ (B).

Nous obtenons alors : $p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}{\frac {bp_{1}}{ap_{2}}}x_{1}^{*}=m$.

Ce qui simplifie : $x_{1}^{*}={\frac {am}{(a+b)p_{1}}}$

En substituant $x_{1}^{*}$ dans $p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}=m$, nous obtenons : $x_{2}^{*}={\frac {bm}{(a+b)p_{2}}}$

Nous avons donc trouvé que le panier préféré pour un consommateur avec des préférence CB de la forme :

$U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}x_{2}^{b}$

est,

$(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=({\frac {am}{(a+b)p_{1}}},{\frac {bm}{(a+b)p_{2}}})$