La contrainte de budget

Nous avons vu la modélisation des préférences afin de comprendre l'aspect du choix lié à la "satisfaction personnelle". Cependant, ces choix sont rarements complètement libres... nous allons modéliser ces contraintes, notamment la contrainte de budget.

L'ensemble de consommation

Un ensemble de consommation est l'ensemble de tous les choix de consommation possible pour un individu.

Il existe bien sûr nombre de contraintes sur cet ensemble : budget, temps...

Contraintes de budget

Un panier de consommation contenant $x_{1}$ unité du bien $1$, $x_{2}$ unité du bien $2$... jusqu'à $x_{n}$ unité du bien $n$ est dénoté par le vecteur $x=(x_{1},x_{2},...,x_{n}$).

Les prix des biens sont dénotés par le vecteur $p=(p_{1},p_{2},...,p_{n})$.

Il est possible pour un individu de consommer le panier ($x_{1},...,x_{n}$) aux prix $p_{1},...,p_{n}$ si Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle p_1x_1 + ... + p_nx_n ≤ m} où $m$ dénote le revenu de l'agent.

L'ensemble de budget d'un consommateur est l'ensemble des paniers de biens qu'il peut s'offrir; Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle B(p_1, ... , p_n, m) = \{(x_1,...,x_n) | x_1 ≥ 0, ... , x_n ≥ 0} et Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle p_1x_1 +...+p_nx_n ≤ m\}}

Les paniers que l'agent est tout juste capable de payer constituent la contrainte de budget. C'est l'ensemble Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle \{(x_1, ... , x_n) | x_1 ≥ 0, ... , x_n ≥ 0} et $p_{1}x_{1}+...+p_{n}x_{n}=m\}$.

La contrainte de budget est la limite supérieure de l'ensemble de budget.

L'ensemble et la contrainte de budget, deux biens

La contrainte de budget : $p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m$.

N.B: $p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m$ donne $x_{2}=-{\frac {p_{1}}{p_{2}}}x_{1}+{\frac {m}{p_{2}}}$. La pente est $-{\frac {1}{p_{2}}}$.

La contrainte de budget

Pour deux biens et $x_{1}$ sur l'axe horizontal, la pente de la contrainte de budget est $-{\frac {p_{1}}{p_{2}}}$.

A budget constant, pour augmenter $x_{1}$ de $1$ unité il faut réduire $x_{2}$ de ${\frac {p_{1}}{p_{2}}}$.

Pente ("taux d'échange" du marché) : -$p_{1}/p_{2}$

Revenu et changement de prix

La contrainte de budget dépend du revenu et des prix.

Comment cette contrainte change quand une de ces variable varie ?

Plus haut revenu

Plus bas revenu

Revenu

Une augmentation de revenu augmente l'ensemble de choix (sans éliminer aucun choix précédant l'augmentation).

Une diminution de revenu diminue l'espace des choix.

Changement de prix : $p_{1}$ diminue de Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle p1’} à Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle p1”}

Changement de prix

Réduire le prix d'un bien fait pivoter la contrainte budgétaire vers l'extérieur. Diminuer un prix étend donc l'ensemble de budget (et inversement pour une augmentation de prix).

La pente de la droite de budget change !

Exemple : la TVA

La taxe sur la valeur ajouté est une taxe ad valorem. Une TVA de 5% augmente tous les prix de 5%, les prix passent donc de $p$ à Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (1 + 0⋅05)p = 1⋅05p} .

TVA

Une taxe uniforme comme la TVA d'un taux t change la contrainte de :

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m$

à

$(1+t)p_{1}x_{1}+(1+t)p_{2}x_{2}=m$

soit,

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}={\frac {m}{1+t}}$

La diminution équivalente en revenu est : $m-{\frac {m}{1+t}}={\frac {t}{1+t}}\times m$

Une TVA d'un taux $t$ est équivalent à une taxe sur le revenu d'un taux : ${\frac {t}{1+t}}$

Unité de mesure

Changer l'unité de mesure ne change ni l'ensemble de budget ni la contrainte budgétaire.

Si tout est mesuré en centimes, alors $p_{1}=200$, $p_{2}=300$, $m=1200$ et la contrainte est $200x_{1}+300x_{2}=1200$, la même que celle mesurée en francs, $2x_{1}+3x_{2}=12$.

Un rabais sur les quantités

Imaginons $p_{2}=1$ (fixé) avec $p_{1}=2$ pour Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle 0 ≤ x_1 ≤ 20} et $p_{1}=1$ pour $x_{1}>20$.

De plus, l'individu possède un revenu ($m$) de 100 Francs.

Des formes plus générales

Les choix sont généralement contraints par d'autres facteurs que le budget (le temps, les nécessité vitales...). Un panier de consommation fait partie de l'ensemble des choix s'il satisfait toutes les contraintes.

Quel est l'ensemble de budget ?