L'Utilité

Les fonctions d'utilité

Une fonction d’utilité est un moyen d’assigner un chiffre à chaque panier de consommation possible, de manière à ce que les paniers préférés reçoivent une notation plus élevée que ceux qui leur sont moins préférés.

Modèle du bien être économique d'une personne.

Résultat fondamental: Une relation de préférences complète, réflexive, transitive et continue peut être représentée par une fonction d'utilité continue.

Pour chaque relation de préférence imaginable, remplissant ces critères, vous pouvez trouver une fonction d'utilité continue qui représente cette relation.

Une fonction d'utilité $U(x)$ représente une relation de préférence $\succeq$ si et seulementt si :

• $x'\succ y''$ ⟺ $U(x')>U(x'')$
• $x'\prec y''$ ⟺ $U(x')<U(x'')$
• $x'\sim y''$ ⟺ $U(x')=U(x'')$

L'utilité est un concept ordinal (i.e. un classement).

Si $U(x)=6$ and $U(y)=2$ alors le panier $x$ est strictement préféré au panier $y$. On ne peut pas dire que $x$ est préféré 3 fois plus que $y$.

Les fonctions d'utilités et les CI

Considérons les paniers (4,1), (2,3) et (2,2). Supposons $(2,3)\succ (4,1)\sim (2,2)$.

Assignons à ces paniers un chiffre qui préserve le classement des préférences:

e.g. $U(2,3)=6>U(4,1)=U(2,2)=4$.

Appelons ces chiffres des niveaux d'utilité.

Une CI contient tous les paniers également préférés.

Egalement préféré => même niveau d'utilité.

Donc tous les paniers sur une CI apporte le même niveau d'utilité.

Les paniers (4,1) et (2,2) sont donc sur la même CI qui apporte U º 4.

Le panier (2,3) est sur la CI qui apporte $U\equiv 6$.

Sur un graphique dans l'espace des biens, cela se représente comme ceci :

Une autre façon de le visualiser est d'ajouter l'utilité comme un 3ème axe, vertical.

Nous pouvons ajouter les CI sur ce graphique en 3D :

En comparant plus de paniers, nous pouvons obtenir une représentation de plus en plus claire des préférences d'un agent :

En ajoutant un axe vertical représentant l'utilité (3D) :

En comparant l'ensemble total des paniers de bien nous pouvons avoir l'ensemble des courbes d'indifférence.

Elles représentent complètement les préférences d'un agent.

L'ensemble de toutes les courbes d'indifférence d'une relation donnée est appelé une carte d'indifférence.

Une carte d'indifférence est équivalente à une fonction d'utilité.

Géographes: cela vous rappelle-t-il quelque chose ?

Les fonctions d'utilité

Il n'existe pas une unique représentation d'une relation de préférence (important).

Supposons que $U(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2}$ représente une relation de préférence.

Considérons à nouveau les 3 paniers (4,1), (2,3) et (2,2).

$U(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2}$, soit :

• $U(2,3)=6>U(4,1)=U(2,2)=4$;
• d'où, $(2,3)\succ (4,1)\sim (2,2)$.

$U(x_{1},x_{2})$ => $(2,3)\succ (4,1)\sim (2,2)$.

Nous avons donc trouvé une fonction d'utilité qui représente la relation de préférence

$(2,3)\succ (4,1)\sim (2,2)$

Maintenant, considérons $V=U^{2}$.

Donc $V(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}x_{2}^{2}$ et $V(2,3)=36>V(4,1)=V(2,2)=16$

Nous avons donc, une fois encore, $V(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}x_{2}^{2}$ => $(2,3)\succ (4,1)\sim (2,2)$

$V$ préserve le même ordonnancement que U et représente donc les mêmes préférences.

Définissons $W=2U+10$.

Alors, $W(x_{1},x_{2})=2x_{1}x_{2}+10$ soit, $W(2,3)=22>W(4,1)=W(2,2)=18$.

Une fois encore $(2,3)\succ (4,1)\sim (2,2)$.

$W$ préserve le même ordonnancement que $U$ et $V$ et représente donc les mêmes préférences.

Toute transformation monotone positive $f(u)$ d’une fonction d’utilité est elle-même une fonction d’utilité admissible.