L'Utilité
Les fonctions d'utilité
Une fonction d’utilité est un moyen d’assigner un chiffre à chaque panier de consommation possible, de manière à ce que les paniers préférés reçoivent une notation plus élevée que ceux qui leur sont moins préférés.
Modèle du bien être économique d'une personne.
Résultat fondamental: Une relation de préférences complète, réflexive, transitive et continue peut être représentée par une fonction d'utilité continue.
Pour chaque relation de préférence imaginable, remplissant ces critères, vous pouvez trouver une fonction d'utilité continue qui représente cette relation.
Une fonction d'utilité représente une relation de préférence si et seulementt si :
- ⟺
- ⟺
- ⟺
L'utilité est un concept ordinal (i.e. un classement).
Si and alors le panier est strictement préféré au panier . On ne peut pas dire que est préféré 3 fois plus que .
Les fonctions d'utilités et les CI
Considérons les paniers (4,1), (2,3) et (2,2). Supposons .
Assignons à ces paniers un chiffre qui préserve le classement des préférences:
e.g. .
Appelons ces chiffres des niveaux d'utilité.
Une CI contient tous les paniers également préférés.
Egalement préféré => même niveau d'utilité.
Donc tous les paniers sur une CI apporte le même niveau d'utilité.
Les paniers (4,1) et (2,2) sont donc sur la même CI qui apporte U º 4.
Le panier (2,3) est sur la CI qui apporte .
Sur un graphique dans l'espace des biens, cela se représente comme ceci :
Une autre façon de le visualiser est d'ajouter l'utilité comme un 3ème axe, vertical.
Nous pouvons ajouter les CI sur ce graphique en 3D :
En comparant plus de paniers, nous pouvons obtenir une représentation de plus en plus claire des préférences d'un agent :
En ajoutant un axe vertical représentant l'utilité (3D) :
En comparant l'ensemble total des paniers de bien nous pouvons avoir l'ensemble des courbes d'indifférence.
Elles représentent complètement les préférences d'un agent.
L'ensemble de toutes les courbes d'indifférence d'une relation donnée est appelé une carte d'indifférence.
Une carte d'indifférence est équivalente à une fonction d'utilité.
Géographes: cela vous rappelle-t-il quelque chose ?
Les fonctions d'utilité
Il n'existe pas une unique représentation d'une relation de préférence (important).
Supposons que représente une relation de préférence.
Considérons à nouveau les 3 paniers (4,1), (2,3) et (2,2).
, soit :
- ;
- d'où, .
=> .
Nous avons donc trouvé une fonction d'utilité qui représente la relation de préférence
Maintenant, considérons .
Donc et
Nous avons donc, une fois encore, =>
préserve le même ordonnancement que U et représente donc les mêmes préférences.
Définissons .
Alors, soit, .
Une fois encore .
préserve le même ordonnancement que et et représente donc les mêmes préférences.
Toute transformation monotone positive d’une fonction d’utilité est elle-même une fonction d’utilité admissible.
On ne peut pas faire de comparaison entre différentes personnes (différentes préférences) en fonction de leur niveau d'utilité !
"Jacques préfère plus le panier (4,2) que Jean car son utilité est de 6 et celle de Jean de 3." n'est pas un raisonnement valide.
Des Bien Substituts
L'utilité pour ces biens substituts s'écrit .
Elles sont toutes linéaires et parallèles.
Des biens complémentaires
L’utilité pour des compléments parfaits s’écrit : .
Quelques autres formes standards
Une fonction d’utilité de la forme est linéaire en et se dénomme “Utilité Quasi-Linéaire”:.
- E.g. .
Une fonction d’utilité de la forme avec et est dénommée utilité Cobb-Douglas. Une des spécifications les plus utilisée.
- E.g.
- ; ()
- ; ()
Utilité Marginale
Marginal signifie “incrémental”.
L’utilité marginale d’un bien spécifie la manière dont l’utilité change quand la consommation de augmente.
- Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle UM_i = \frac {∂ U(X)}{∂ x_i}}
Hypothèse: typiquement, la satisfaction qu’un agent retire de la consommation d’une unité d’un bien diminue avec les quantités consommées (toutes choses égales par ailleurs).
La non-satiété implique cependant que l’agent est toujours plus heureux avec plus d’un bien.
Cela implique donc que la fonction d’utilité est croissante et concave dans les quantités consommées d’un bien.
L’utilité marginale est donc positive, et sa dérivée négative.
Donc, si alors
- Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle UM_i = \frac {∂}{∂ x_1} = \frac {1}{2} x_1^{-\frac {1}{2}} x_2^{\frac {1}{2}}}
- Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle UM_i = \frac {∂}{∂ x_2} = \frac {1}{2} x_1^{\frac {1}{2}} x_2^{-\frac {1}{2}}}
Lien entre le TMS et l’Utilité Marginale
En allant de vers :
- De vers on perd de l’utilité
- Perte =
- De vers on gagne de l’utilité
- Gain =
- Or, entre et , Perte = Gain
- ⇒
- ⇒