« L'Utilité » : différence entre les versions

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Modèle du bien être économique d'une personne.
Modèle du bien être économique d'une personne.


Résultat fondamental: Une relation de préférences complète, réflexive, transitive et continue peut être représentée par une fonction d'utilité continue.
Résultat fondamental: Une relation de préférences complète, réflexive, transitive et continue peut être représentée par une fonction d’utilité continue.


Pour chaque relation de préférence imaginable, remplissant ces critères, vous pouvez trouver une fonction d'utilité continue qui représente cette relation.
Pour chaque relation de préférence imaginable, remplissant ces critères, vous pouvez trouver une fonction d'utilité continue qui représente cette relation.
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= Les fonctions d'utilités et les CI =
= Les fonctions d'utilités et les CI =


Considerons les paniers (4,1), (2,3) et (2,2).
Considérons les paniers (4,1), (2,3) et (2,2).
Supposons  (2,3)     (4,1) ~ (2,2).
Supposons  <math>(2,3) \succ (4,1) \sim (2,2)</math>.
Assignons à ces paniers un chiffre qui préserve le classement des préférences:


e.g.  U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4.
Assignons à ces paniers un chiffre qui préserve le classement des préférences :
 
e.g.  <math>U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4</math>.


Appelons ces chiffres des niveaux d'utilité.
Appelons ces chiffres des niveaux d'utilité.
Une CI contient tous les paniers également préférés.
Également préféré => même niveau d'utilité.
Donc tous les paniers sur une CI apporte le même niveau d'utilité.
Les paniers (4,1) et (2,2) sont donc sur la même CI qui apporte U º 4.
Le panier (2,3) est sur la CI qui apporte <math>U \equiv 6</math>.
Sur un graphique dans l'espace des biens, cela se représente comme ceci :
[[File:microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 1.png|thumb|center]]
Une autre façon de le visualiser est d'ajouter l'utilité comme un 3ème axe, vertical.
[[File:microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 2.png|thumb|center]]
Nous pouvons ajouter les CI sur ce graphique en 3D :
[[File:microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 3.png|thumb|center]]
En comparant plus de paniers, nous pouvons obtenir une représentation de plus en plus claire des préférences d'un agent :
[[File:microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 4.png|thumb|center]]
En ajoutant un axe vertical représentant l'utilité (3D) :
[[File:microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 5.png|thumb|center]]
En comparant l'ensemble total des paniers de bien, nous pouvons avoir l'ensemble des courbes d'indifférence.
Elles représentent complètement les préférences d'un agent.
[[File:microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 6.gif|thumb|center]]
L'ensemble de toutes les courbes d'indifférence d'une relation donnée est appelé une carte d'indifférence.
Une carte d'indifférence est équivalente à une fonction d'utilité.
Géographes: cela vous rappelle-t-il quelque chose ?
= Les fonctions d'utilité =
Il n'existe pas une unique représentation d'une relation de préférence (important).
Supposons que <math>U(x_1, x_2) = x_1 x_2</math> représente une relation de préférence.
Considérons à nouveau les 3 paniers (4,1), (2,3) et (2,2).
<math>U(x_1, x_2) = x_1 x_2</math>, soit :
*<math>U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4</math>;
*d'où, <math>(2,3) \succ (4,1) \sim (2,2)</math>.
<math>U(x_1, x_2)</math> => <math>(2,3) \succ (4,1) \sim (2,2)</math>.
Nous avons donc trouvé une fonction d'utilité qui représente la relation de préférence
:<math>(2,3) \succ (4,1) \sim (2,2)</math>
Maintenant, considérons <math>V = U^2</math>.
Donc <math>V(x_1, x_2) = x_1^2 x_2^2</math>  et <math>V(2,3) = 36 > V(4,1) = V(2,2) = 16</math>
Nous avons donc, une fois encore, <math>V(x_1, x_2) = x_1^2 x_2^2</math>  => <math>(2,3) \succ (4,1) \sim (2,2)</math>
<math>V</math> préserve le même ordonnancement que U et représente donc les mêmes préférences.
Définissons <math>W = 2U + 10</math>.
Alors, <math>W(x_1, x_2) = 2x_1x_2 + 10</math> soit, <math>W(2,3) = 22 >  W(4,1) = W(2,2) = 18</math>. 
Une fois encore  <math>(2,3) \succ (4,1) \sim (2,2)</math>.
<math>W</math> préserve le même ordonnancement que <math>U</math> et <math>V</math> et représente donc les mêmes préférences.
Toute transformation monotone positive <math>f(u)</math> d’une fonction d’utilité est elle-même une fonction d’utilité admissible.
On ne peut pas faire de comparaison entre différentes personnes (différentes préférences) en fonction de leur niveau d'utilité !
 
"Jacques préfère plus le panier (4,2) que Jean car son utilité est de 6 et celle de Jean de 3." n'est pas un raisonnement valide.
= Des Bien Substituts =
L'utilité pour ces biens substituts s'écrit <math>V(x_1, x_2) = x1_ + x_2</math>.
[[File:microéconomie utilité CI biens substituts 1.png|thumb|center|CI de biens substituts.]]
Elles sont toutes linéaires et parallèles.
= Des biens complémentaires =
L’utilité pour des compléments parfaits s’écrit : <math>W(x_1, x_2) = min\{x_1, x_2\}</math>.
[[File:microéconomie utilité CI biens complémentaires 1.png|thumb|center|CI de biens complémentaires.]]
= Quelques autres formes standards =
Une fonction d’utilité de la forme <math>U(x_1, x_2) = f(x_1) + x_2</math> est linéaire en <math>x_2</math> et se dénomme “Utilité Quasi-Linéaire”:.
:E.g. <math>U(x_1, x_2) =  2x_1^{\frac {1}{2}} + x_2</math>.
Une fonction d’utilité de la forme <math>U(x_1, x_2) = x_1^a x_2^b</math> avec <math>a > 0</math> et <math>b > 0</math> est dénommée utilité Cobb-Douglas. Une des spécifications les plus utilisée.
:E.g.
::<math>U(x_1, x_2) = x_1^{\frac {1}{2}} x_2^{\frac {1}{2}}</math> ;  (<math>a = b = \frac {1}{2}</math>)         
::<math>V(x_1, x_2) = x^1 x_2^3</math> ; (<math>a = 1, b = 3</math>)
= Utilité Marginale =
Marginal signifie “incrémental”.
L’utilité marginale d’un bien <math>i</math> spécifie la manière dont l’utilité change quand la consommation de <math>i</math> augmente.
:::::<math>UM_i = \frac {∂ U(X)}{∂ x_i}</math>
Hypothèse: typiquement, la satisfaction qu’un agent retire de la consommation d’une unité d’un bien diminue avec les quantités consommées (toutes choses égales par ailleurs).
La non-satiété implique cependant que l’agent est toujours plus heureux avec plus d’un bien.
Cela implique donc que la fonction d’utilité est croissante et concave dans les quantités consommées d’un bien.
L’utilité marginale est donc positive, et sa dérivée négative.
Donc, si <math>U(x_1, x_2) = x_1^{\frac {1}{2}} x^{\frac {1}{2}}</math>, alors :
:<math>UM_i = \frac {∂U}{∂ x_1} = \frac {1}{2} x_1^{-\frac {1}{2}} x_2^{\frac {1}{2}}</math>
:<math>UM_i = \frac {∂U}{∂ x_2} = \frac {1}{2} x_1^{\frac {1}{2}} x_2^{-\frac {1}{2}}</math>
= Lien entre le TMS et l’Utilité Marginale =
[[File:microéconomie utilité lien entre le TMS et l’Utilité Marginale 1.png|thumb|right|]]
En allant de <math>A</math> vers <math>C</math> :
*De <math>A</math> vers <math>B</math> on perd de l’utilité
:Perte = <math>-\Delta x_2 \times Um_{x_2}</math>
*De <math>B</math> vers <math>C</math> on gagne de l’utilité
:Gain = <math>\Delta x_1 \times Um_{x_1}</math>
*Or, entre <math>A</math> et <math>C</math>, Perte = Gain
:⇒ <math>-\Delta x_2 \times Um_{x_2} = \Delta x_1 \times Um_{X_1}</math>
:⇒ <math>\frac {-\Delta x_2}{\Delta x_1} =  \frac {Um_{X_1}}{Um_{X_2}}</math>
:::::<math>TMXx_1x_2 = \frac {Umx_1}{Umx_2}</math>
= Um et TMS un exemple =
Supposons <math>U(x_1, x_2) =  x_1^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}</math>.  Alors,
:<math>UM_i = \frac {∂U}{∂ x_1} = \frac {1}{2} x_1^{-\frac {1}{2}} x_2^{\frac {1}{2}}</math>
:<math>UM_i = \frac {∂U}{∂ x_2} = \frac {1}{2} x_1^{\frac {1}{2}} x_2^{-\frac {1}{2}}</math>
où,
:<math>TMS = \frac {\frac {∂U}{∂ x_1}}{\frac {∂U}{∂ x_2}} = \frac {x_2}{x_1}</math>
[[File:microéconomie utilité Um et TMS un exemple 1.png|thumb|center|]]
= Transformation Monotone de l’Utilité et TMS =
Si <math>V = f(U)</math>, où <math>f(.)</math> est une fonction strictement croissante, alors :
:<math>TMS = - \frac {\frac {∂V}{∂ x_1}}{\frac {∂V}{∂ x_2}} = - \frac {\frac {f'(U) \times ∂U}{∂ x_1}}{\frac {f'(U) \times ∂U}{∂ x_2}} = - \frac {\frac {∂U}{∂ x_1}}{\frac {∂U}{∂ x_2}}</math>
Le TMS est inchangé par cette transformation !
= Annexes =
= Références =
<references/>
[[Catégorie:Économie]]
[[Catégorie:Microéconomie]]
[[Category:Jérémy Lucchetti]]
[[Category:2011]]
[[Category:2012]] 
[[Category:2013]]
[[Category:2014]]

Version actuelle datée du 13 avril 2021 à 08:50

Les fonctions d'utilité[modifier | modifier le wikicode]

Une fonction d’utilité est un moyen d’assigner un chiffre à chaque panier de consommation possible, de manière à ce que les paniers préférés reçoivent une notation plus élevée que ceux qui leur sont moins préférés.

Modèle du bien être économique d'une personne.

Résultat fondamental: Une relation de préférences complète, réflexive, transitive et continue peut être représentée par une fonction d’utilité continue.

Pour chaque relation de préférence imaginable, remplissant ces critères, vous pouvez trouver une fonction d'utilité continue qui représente cette relation.

Une fonction d'utilité Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U(x)} représente une relation de préférence Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \succeq} si et seulementt si :

  • Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x' \succ y''} ⟺ Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U(x') > U(x'')}
  • Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x' \prec y''} ⟺ Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U(x') < U(x'')}
  • Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x' \sim y''} ⟺ Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U(x') = U(x'')}

L'utilité est un concept ordinal (i.e. un classement).

Si Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U(x) = 6} and Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U(y) = 2} alors le panier Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x} est strictement préféré au panier Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle y} . On ne peut pas dire que Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x} est préféré 3 fois plus que Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle y} .

Les fonctions d'utilités et les CI[modifier | modifier le wikicode]

Considérons les paniers (4,1), (2,3) et (2,2). Supposons Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (2,3) \succ (4,1) \sim (2,2)} .

Assignons à ces paniers un chiffre qui préserve le classement des préférences :

e.g. Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4} .

Appelons ces chiffres des niveaux d'utilité.

Une CI contient tous les paniers également préférés.

Également préféré => même niveau d'utilité.

Donc tous les paniers sur une CI apporte le même niveau d'utilité.

Les paniers (4,1) et (2,2) sont donc sur la même CI qui apporte U º 4.

Le panier (2,3) est sur la CI qui apporte Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U \equiv 6} .

Sur un graphique dans l'espace des biens, cela se représente comme ceci :

Microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 1.png

Une autre façon de le visualiser est d'ajouter l'utilité comme un 3ème axe, vertical.

Microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 2.png

Nous pouvons ajouter les CI sur ce graphique en 3D :

Microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 3.png

En comparant plus de paniers, nous pouvons obtenir une représentation de plus en plus claire des préférences d'un agent :

Microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 4.png

En ajoutant un axe vertical représentant l'utilité (3D) :

Microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 5.png

En comparant l'ensemble total des paniers de bien, nous pouvons avoir l'ensemble des courbes d'indifférence.

Elles représentent complètement les préférences d'un agent.

Microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 6.gif

L'ensemble de toutes les courbes d'indifférence d'une relation donnée est appelé une carte d'indifférence.

Une carte d'indifférence est équivalente à une fonction d'utilité.

Géographes: cela vous rappelle-t-il quelque chose ?

Les fonctions d'utilité[modifier | modifier le wikicode]

Il n'existe pas une unique représentation d'une relation de préférence (important).

Supposons que Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U(x_1, x_2) = x_1 x_2} représente une relation de préférence.

Considérons à nouveau les 3 paniers (4,1), (2,3) et (2,2).

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U(x_1, x_2) = x_1 x_2} , soit :

  • Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4} ;
  • d'où, Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (2,3) \succ (4,1) \sim (2,2)} .

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U(x_1, x_2)} => Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (2,3) \succ (4,1) \sim (2,2)} .

Nous avons donc trouvé une fonction d'utilité qui représente la relation de préférence

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (2,3) \succ (4,1) \sim (2,2)}

Maintenant, considérons Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle V = U^2} .

Donc Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle V(x_1, x_2) = x_1^2 x_2^2} et Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle V(2,3) = 36 > V(4,1) = V(2,2) = 16}

Nous avons donc, une fois encore, Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle V(x_1, x_2) = x_1^2 x_2^2} => Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (2,3) \succ (4,1) \sim (2,2)}

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle V} préserve le même ordonnancement que U et représente donc les mêmes préférences.

Définissons Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle W = 2U + 10} .

Alors, Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle W(x_1, x_2) = 2x_1x_2 + 10} soit, Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle W(2,3) = 22 > W(4,1) = W(2,2) = 18} .

Une fois encore Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (2,3) \succ (4,1) \sim (2,2)} .

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle W} préserve le même ordonnancement que Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U} et Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle V} et représente donc les mêmes préférences.

Toute transformation monotone positive Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle f(u)} d’une fonction d’utilité est elle-même une fonction d’utilité admissible.

On ne peut pas faire de comparaison entre différentes personnes (différentes préférences) en fonction de leur niveau d'utilité !

"Jacques préfère plus le panier (4,2) que Jean car son utilité est de 6 et celle de Jean de 3." n'est pas un raisonnement valide.

Des Bien Substituts[modifier | modifier le wikicode]

L'utilité pour ces biens substituts s'écrit Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle V(x_1, x_2) = x1_ + x_2} .

CI de biens substituts.

Elles sont toutes linéaires et parallèles.

Des biens complémentaires[modifier | modifier le wikicode]

L’utilité pour des compléments parfaits s’écrit : Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle W(x_1, x_2) = min\{x_1, x_2\}} .

CI de biens complémentaires.

Quelques autres formes standards[modifier | modifier le wikicode]

Une fonction d’utilité de la forme Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U(x_1, x_2) = f(x_1) + x_2} est linéaire en Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x_2} et se dénomme “Utilité Quasi-Linéaire”:.

E.g. Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U(x_1, x_2) = 2x_1^{\frac {1}{2}} + x_2} .

Une fonction d’utilité de la forme Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U(x_1, x_2) = x_1^a x_2^b} avec Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle a > 0} et Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle b > 0} est dénommée utilité Cobb-Douglas. Une des spécifications les plus utilisée.

E.g.
Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U(x_1, x_2) = x_1^{\frac {1}{2}} x_2^{\frac {1}{2}}}  ; (Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle a = b = \frac {1}{2}} )
Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle V(x_1, x_2) = x^1 x_2^3}  ; (Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle a = 1, b = 3} )

Utilité Marginale[modifier | modifier le wikicode]

Marginal signifie “incrémental”.

L’utilité marginale d’un bien Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle i} spécifie la manière dont l’utilité change quand la consommation de Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle i} augmente.

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle UM_i = \frac {∂ U(X)}{∂ x_i}}

Hypothèse: typiquement, la satisfaction qu’un agent retire de la consommation d’une unité d’un bien diminue avec les quantités consommées (toutes choses égales par ailleurs).

La non-satiété implique cependant que l’agent est toujours plus heureux avec plus d’un bien.

Cela implique donc que la fonction d’utilité est croissante et concave dans les quantités consommées d’un bien.

L’utilité marginale est donc positive, et sa dérivée négative.

Donc, si Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U(x_1, x_2) = x_1^{\frac {1}{2}} x^{\frac {1}{2}}} , alors :

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle UM_i = \frac {∂U}{∂ x_1} = \frac {1}{2} x_1^{-\frac {1}{2}} x_2^{\frac {1}{2}}}
Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle UM_i = \frac {∂U}{∂ x_2} = \frac {1}{2} x_1^{\frac {1}{2}} x_2^{-\frac {1}{2}}}

Lien entre le TMS et l’Utilité Marginale[modifier | modifier le wikicode]

Microéconomie utilité lien entre le TMS et l’Utilité Marginale 1.png

En allant de Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle A} vers Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle C}  :

  • De Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle A} vers Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle B} on perd de l’utilité
Perte = Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle -\Delta x_2 \times Um_{x_2}}
  • De Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle B} vers Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle C} on gagne de l’utilité
Gain = Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \Delta x_1 \times Um_{x_1}}
  • Or, entre Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle A} et Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle C} , Perte = Gain
⇒ Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle -\Delta x_2 \times Um_{x_2} = \Delta x_1 \times Um_{X_1}}
⇒ Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \frac {-\Delta x_2}{\Delta x_1} = \frac {Um_{X_1}}{Um_{X_2}}}
Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle TMXx_1x_2 = \frac {Umx_1}{Umx_2}}

Um et TMS un exemple[modifier | modifier le wikicode]

Supposons Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U(x_1, x_2) = x_1^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} . Alors,

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle UM_i = \frac {∂U}{∂ x_1} = \frac {1}{2} x_1^{-\frac {1}{2}} x_2^{\frac {1}{2}}}
Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle UM_i = \frac {∂U}{∂ x_2} = \frac {1}{2} x_1^{\frac {1}{2}} x_2^{-\frac {1}{2}}}

où,

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle TMS = \frac {\frac {∂U}{∂ x_1}}{\frac {∂U}{∂ x_2}} = \frac {x_2}{x_1}}
Microéconomie utilité Um et TMS un exemple 1.png

Transformation Monotone de l’Utilité et TMS[modifier | modifier le wikicode]

Si Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle V = f(U)} , où Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle f(.)} est une fonction strictement croissante, alors :

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle TMS = - \frac {\frac {∂V}{∂ x_1}}{\frac {∂V}{∂ x_2}} = - \frac {\frac {f'(U) \times ∂U}{∂ x_1}}{\frac {f'(U) \times ∂U}{∂ x_2}} = - \frac {\frac {∂U}{∂ x_1}}{\frac {∂U}{∂ x_2}}}

Le TMS est inchangé par cette transformation !

Annexes[modifier | modifier le wikicode]

Références[modifier | modifier le wikicode]

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