Modification de L'Utilité

= Les fonctions d'utilité =

Une fonction d’utilité est un moyen d’assigner un chiffre à chaque panier de consommation possible, de manière à ce que les paniers préférés reçoivent une notation plus élevée que ceux qui leur sont moins préférés.

Modèle du bien être économique d'une personne.

Résultat fondamental: Une relation de préférences complète, réflexive, transitive et continue peut être représentée par une fonction d'utilité continue.

Pour chaque relation de préférence imaginable, remplissant ces critères, vous pouvez trouver une fonction d'utilité continue qui représente cette relation.

Une fonction d'utilité <math>U(x)</math> représente une relation de préférence <math>\succeq</math> si et seulementt si :
*<math>x' \succ y''</math> ⟺ <math>U(x') > U(x'')</math>
*<math>x' \prec y''</math> ⟺ <math>U(x') < U(x'')</math>
*<math>x' \sim y''</math> ⟺ <math>U(x') = U(x'')</math>

L'utilité est un concept ordinal (i.e. un classement).

Si <math>U(x) = 6</math> and <math>U(y) = 2</math> alors le panier <math>x</math> est strictement préféré au panier <math>y</math>. On ne peut pas dire que <math>x</math> est préféré 3 fois plus que <math>y</math>.

= Les fonctions d'utilités et les CI =

Considérons les paniers (4,1), (2,3) et (2,2).
Supposons  <math>(2,3)  \succ (4,1) \sim (2,2)</math>.

Assignons à ces paniers un chiffre qui préserve le classement des préférences:

e.g.   <math>U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4</math>.

Appelons ces chiffres des niveaux d'utilité.

Une CI contient tous les paniers également préférés.

Egalement préféré => même niveau d'utilité.

Donc tous les paniers sur une CI apporte le même niveau d'utilité.

Les paniers (4,1) et (2,2) sont donc sur la même CI qui apporte U º 4.

Le panier (2,3) est sur la CI qui apporte <math>U \equiv 6</math>.

Sur un graphique dans l'espace des biens, cela se représente comme ceci :

[[File:microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 1.png|thumb|center]]

Une autre façon de le visualiser est d'ajouter l'utilité comme un 3ème axe, vertical.

[[File:microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 2.png|thumb|center]]

Nous pouvons ajouter les CI sur ce graphique en 3D :

[[File:microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 3.png|thumb|center]]

En comparant plus de paniers, nous pouvons obtenir une représentation de plus en plus claire des préférences d'un agent :

[[File:microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 4.png|thumb|center]]

En ajoutant un axe vertical représentant l'utilité (3D) :

[[File:microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 5.png|thumb|center]]

En comparant l'ensemble total des paniers de bien nous pouvons avoir l'ensemble des courbes d'indifférence. 

Elles représentent complètement les préférences d'un agent.

[[File:microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 6.gif|thumb|center]]

L'ensemble de toutes les courbes d'indifférence d'une relation donnée est appelé une carte d'indifférence.

Une carte d'indifférence est équivalente à une fonction d'utilité.

Géographes: cela vous rappelle-t-il quelque chose ?

= Les fonctions d'utilité =

Il n'existe pas une unique représentation d'une relation de préférence (important).

Supposons que <math>U(x_1, x_2) = x_1 x_2</math> représente une relation de préférence.

Considérons à nouveau les 3 paniers (4,1), (2,3) et (2,2).

<math>U(x_1, x_2) = x_1 x_2</math>, soit :
*<math>U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4</math>;
*d'où, <math>(2,3) \succ (4,1) \sim (2,2)</math>.

<math>U(x_1, x_2)</math> => <math>(2,3) \succ (4,1) \sim (2,2)</math>.

Nous avons donc trouvé une fonction d'utilité qui représente la relation de préférence 
:<math>(2,3) \succ (4,1) \sim (2,2)</math>

Maintenant, considérons <math>V = U^2</math>.

Donc <math>V(x_1, x_2) = x_1^2 x_2^2</math>  et <math>V(2,3) = 36 > V(4,1) = V(2,2) = 16</math>

Nous avons donc, une fois encore, <math>V(x_1, x_2) = x_1^2 x_2^2</math>  => <math>(2,3) \succ (4,1) \sim (2,2)</math>

<math>V</math> préserve le même ordonnancement que U et représente donc les mêmes préférences.

Définissons <math>W = 2U + 10</math>.

Alors, <math>W(x_1, x_2) = 2x_1x_2 + 10</math> soit, <math>W(2,3) = 22 >  W(4,1) = W(2,2) = 18</math>.  

Une fois encore  <math>(2,3) \succ (4,1) \sim (2,2)</math>.

<math>W</math> préserve le même ordonnancement que <math>U</math> et <math>V</math> et représente donc les mêmes préférences.

Toute transformation monotone positive <math>f(u)</math> d’une fonction d’utilité est elle-même une fonction d’utilité admissible.

On ne peut pas faire de comparaison entre différentes personnes (différentes préférences) en fonction de leur niveau d'utilité ! 
  
"Jacques préfère plus le panier (4,2) que Jean car son utilité est de 6 et celle de Jean de 3." n'est pas un raisonnement valide.

= Des Bien Substituts =

L'utilité pour ces biens substituts s'écrit <math>V(x_1, x_2) = x1_ + x_2</math>.

[[File:microéconomie utilité CI biens substituts 1.png|thumb|center|CI de biens substituts.]]

Elles sont toutes linéaires et parallèles.

= Des biens complémentaires =

L’utilité pour des compléments parfaits s’écrit : <math>W(x_1, x_2) = min\{x_1, x_2\}</math>.

[[File:microéconomie utilité CI biens complémentaires 1.png|thumb|center|CI de biens complémentaires.]]

= Quelques autres formes standards =

Une fonction d’utilité de la forme <math>U(x_1, x_2) = f(x_1) + x_2</math> est linéaire en <math>x_2</math> et se dénomme “Utilité Quasi-Linéaire”:. 
:E.g. <math>U(x_1, x_2) =  2x_1^{\frac {1}{2}} + x_2</math>.

Une fonction d’utilité de la forme <math>U(x_1, x_2) = x_1^a x_2^b</math> avec <math>a > 0</math> et <math>b > 0</math> est dénommée utilité Cobb-Douglas. Une des spécifications les plus utilisée.
:E.g.
::<math>U(x_1, x_2) = x_1^{\frac {1}{2}} x_2^{\frac {1}{2}}</math> ;  (<math>a = b = \frac {1}{2}</math>)          
::<math>V(x_1, x_2) = x^1 x_2^3</math> ; (<math>a = 1, b = 3</math>)

= Utilité Marginale =
Marginal signifie “incrémental”.

L’utilité marginale d’un bien <math>i</math> spécifie la manière dont l’utilité change quand la consommation de <math>i</math> augmente.

:::::<math>UM_i = \frac {∂ U(X)}{∂ x_i}</math>

Hypothèse: typiquement, la satisfaction qu’un agent retire de la consommation d’une unité d’un bien diminue avec les quantités consommées (toutes choses égales par ailleurs).

La non-satiété implique cependant que l’agent est toujours plus heureux avec plus d’un bien.

Cela implique donc que la fonction d’utilité est croissante et concave dans les quantités consommées d’un bien.

L’utilité marginale est donc positive, et sa dérivée négative.

Donc, si <math>U(x_1, x_2) = x_1^{\frac {1}{2}} x^{\frac {1}{2}}</math>, alors :
:<math>UM_i = \frac {∂U}{∂ x_1} = \frac {1}{2} x_1^{-\frac {1}{2}} x_2^{\frac {1}{2}}</math>
:<math>UM_i = \frac {∂U}{∂ x_2} = \frac {1}{2} x_1^{\frac {1}{2}} x_2^{-\frac {1}{2}}</math>

= Lien entre le TMS et l’Utilité Marginale =

[[File:microéconomie utilité lien entre le TMS et l’Utilité Marginale 1.png|thumb|right|]]

En allant de <math>A</math> vers <math>C</math> :
*De <math>A</math> vers <math>B</math> on perd de l’utilité
:Perte = <math>-\Delta x_2 \times Um_{x_2}</math>
*De <math>B</math> vers <math>C</math> on gagne de l’utilité
:Gain = <math>\Delta x_1 \times Um_{x_1}</math>
*Or, entre <math>A</math> et <math>C</math>, Perte = Gain 
:⇒ <math>-\Delta x_2 \times Um_{x_2} = \Delta x_1 \times Um_{X_1}</math>
:⇒ <math>\frac {-\Delta x_2}{\Delta x_1} =  \frac {Um_{X_1}}{Um_{X_2}}</math>

:::::<math>TMXx_1x_2 = \frac {Umx_1}{Umx_2}</math>

= Um et TMS un exemple =

Supposons <math>U(x_1, x_2) =  x_1^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}</math>.  Alors,
:<math>UM_i = \frac {∂U}{∂ x_1} = \frac {1}{2} x_1^{-\frac {1}{2}} x_2^{\frac {1}{2}}</math>
:<math>UM_i = \frac {∂U}{∂ x_2} = \frac {1}{2} x_1^{\frac {1}{2}} x_2^{-\frac {1}{2}}</math>
où,
:<math>TMS = \frac {\frac {∂U}{∂ x_1}}{\frac {∂U}{∂ x_2}} = \frac {x_2}{x_1}</math>

[[File:microéconomie utilité Um et TMS un exemple 1.png|thumb|center|]]

= Transformation Monotone de l’Utilité et TMS =

Si <math>V = f(U)</math>, où <math>f(.)</math> est une fonction strictement croissante, alors :
:<math>TMS = - \frac {\frac {∂V}{∂ x_1}}{\frac {∂V}{∂ x_2}} = - \frac {\frac {f'(U) \times ∂U}{∂ x_1}}{\frac {f'(U) \times ∂U}{∂ x_2}} = - \frac {\frac {∂U}{∂ x_1}}{\frac {∂U}{∂ x_2}}</math>

Le TMS est inchangé par cette transformation !
@@ Ligne 5 : / Ligne 5 : @@
 Modèle du bien être économique d'une personne.
-Résultat fondamental: Une relation de préférences complète, réflexive, transitive et continue peut être représentée par une fonction d’utilité continue.
+Résultat fondamental: Une relation de préférences complète, réflexive, transitive et continue peut être représentée par une fonction d'utilité continue.
 Pour chaque relation de préférence imaginable, remplissant ces critères, vous pouvez trouver une fonction d'utilité continue qui représente cette relation.
@@ Ligne 23 : / Ligne 23 : @@
 Supposons  <math>(2,3)  \succ (4,1) \sim (2,2)</math>.
-Assignons à ces paniers un chiffre qui préserve le classement des préférences :
+Assignons à ces paniers un chiffre qui préserve le classement des préférences:
 e.g.   <math>U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4</math>.
@@ Ligne 31 : / Ligne 31 : @@
 Une CI contient tous les paniers également préférés.
-Également préféré => même niveau d'utilité.
+Egalement préféré => même niveau d'utilité.
 Donc tous les paniers sur une CI apporte le même niveau d'utilité.
@@ Ligne 59 : / Ligne 59 : @@
 [[File:microéconomie utilité fonctions d'utilités et les CI 5.png|thumb|center]]
-En comparant l'ensemble total des paniers de bien, nous pouvons avoir l'ensemble des courbes d'indifférence.
+En comparant l'ensemble total des paniers de bien nous pouvons avoir l'ensemble des courbes d'indifférence.
 Elles représentent complètement les préférences d'un agent.
@@ Ligne 184 : / Ligne 184 : @@
 Le TMS est inchangé par cette transformation !
-= Annexes =
-= Références =
-<references/>
-[[Catégorie:Économie]]
-[[Catégorie:Microéconomie]]
-[[Category:Jérémy Lucchetti]]
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