L'Oligopole

Un duopole est une industrie composée de 2 firmes.

Un oligopole est une industrie composée de très peu de firmes.

L’impact : les décisions d’une firme se répercutent sur les profits de l’autre.

Chaque firme prend donc en compte les décisions de l’autre firme quand elle établit sa stratégie.

=> Théorie des Jeux !

Nous allons analyser le cas simple de 2 firmes qui produisent un bien identique.

Compétition par les quantités

L'hypothèse de base est que les firmes se font concurrence en fixant les quantités produites.

Si la firme 1 produit $y_{1}$ unités et la firme 2 produit $y_{2}$ unités, alors la quantité offerte totale est $y_{1}+y_{2}$. Le prix de marché est $p(y_{1}+y_{2})$.

Les fonctions de coûts : $c_{1}(y_{1})$ et $c_{2}(y_{2})$.

Si la firme 1 prend la production de la firme 2 comme donnée, sa fonction de profit s’écrit $\pi _{1}(y_{1};y_{2})=p(y_{1}+y_{2})y_{1}-c_{1}(y_{1})$.

Etant donné $y_{2}$, quelle production $y_{1}$ maximise les profits de la firme 1 ?

Exemple : demande est $p(y_{T})=60-y_{T}$ et les fonctions de coûts sont $c_{1}(y_{1})=y_{1}^{2}$ et $c_{2}(y_{2})=15y_{2}+y_{2}^{2}$

La fonction de profit de la firme 1 :

$\Pi (y_{1};y_{2})=(60-y_{1}-y_{2})y_{1}-y_{2}^{1}$

Le choix optimal de la firme 1 :

${\frac {\partial \Pi }{\partial y_{1}}}=60-2y_{1}-y_{2}-2y_{1}=0$

I.e. La meilleure réponse de la firme 1 à la quantité produite par 2 est :

$y_{1}=R_{1}(y_{2})=15-{\frac {1}{4}}y_{2}$

La “courbe de réaction”.

La fonction de profit de la firme 2 :

$\Pi (y_{2};y_{2})=(60-y_{1}-y_{2})y_{2}-15y_{2}-y_{2}^{2}$

...le choix optimal de la firme 2...

${\frac {\partial \Pi }{\partial y_{2}}}=60-y_{1}-2y_{2}-15-2y_{2}=0$

I.e. La meilleure réponse de la firme 2 :

$y_{2}=R_{2}(y_{1})={\frac {45-y_{1}}{4}}$

La courbe de réaction de la firme 2.

Un équilibre de Nash ici, signifie que chaque firme joue sa meilleure réponse à la meilleure réponse de l’autre.

Une paire ($y_{1}^{*},y_{2}^{*}$) est un équilibre Cournot-Nash si $y_{1}^{*}=R_{1}(y_{2}^{*})$ et $y_{2}^{*}=R_{2}(y_{1}^{*})$.

La courbe de réaction de la firme 2.

Courbes d’Iso Profit

Pour la firme 1, une courbe d’iso profit contient toutes les paires ($y_{1},y_{2}$) qui donnent à la firme 1 le même niveau de profit $\pi _{1}$.

Va nous permettre d’analyser les comportements collusifs.

Avec $y_{1}$ fixé, le profit de la firme 1 augmente quand $y_{2}$ diminue.

Si Firme 2 choisit $y_{2}=y_{2}^{'}$, quel est le niveau de production qui maximise le profit de 1 ?

A: Le point qui atteint la courbe la plus basse sur le graphe.

C’est la meilleure réponse de la firme 1 à $y_{2}^{'}$

La courbe de réaction de la firme 1 passe par les “sommets” des courbes d’iso-profit.

Collusion

Est-ce que les profits à l’équilibre de Cournot-Nash sont les plus élevés que les firmes peuvent atteindre au total ?

($y_{1}^{*},y_{2}^{*}$) : équilibre de Cournot.

($y_{1}^{'},y_{2}^{'}$) apporte de plus hauts profits à chaque firme que ($y_{1}^{*},y_{2}^{*}$).

Il y a donc des incitations pour les firmes à “coopérer” en diminuant leurs quantités produites: la collusion. Les firmes forment alors un cartel.

Analyse de ces cartels.

Coopération: l’objectif est de maximiser les profits joints, et ensuite de les partager.

Objectif : trouver les quantités qui maximisent

$\Pi ^{m}(y_{1},y_{2})=p(y_{1}+y_{2})(y_{1}+y_{2})-c_{1}(y_{1})-c_{2}(y_{2})$

Condition sur le partage : aucune firme ne doit avoir moins que les profits qu’elle obtiendrait à l’équilibre de Cournot-Nash.

($y_{1}'',y_{2}''$) offre le maximum de profit joint.

$({\tilde {y}}_{1},{\tilde {y}}_{2}$ donne les profits maximum à la firme 1 et le niveau de profit de l’équilibre Cournot Nash à la firme 2.

($y_{1}^{m},y_{2}^{m}$) maximise le profit joint.

Un tel cartel est-il stable ?

I.e. si la firme 1 produit $y_{1}^{m}$ unités, est-ce que la firme 2 ne peut pas faire mieux que produire $y_{2}^{m}$ unités ?

Meilleure réponse de la firme 2 à $y_{1}=y_{1}^{m}$ est $y_{2}=R_{2}(y_{1}^{m})$.

$y_{2}=R_{2}(y_{1}^{m})$ est la meilleure réponse de 2 à $y_{1}=y_{1}^{m}$.

Meilleure réponse : $y_{2}=R_{2}(y_{1}^{m})>y_{2}^{m}$.

La firme 2 augmente ses profits en déviant du cartel, en produisant $R_{2}(y_{1}^{m})$.

De même la firme 1 peut augmenter ses profits en déviant de $y_{1}^{m}$ à $R_{1}(y_{2}^{m})$.

Un cartel, composé de firmes qui recherchent leur profit individuel, est fondamentalement instable.

En pratique, comment un cartel peut-il se maintenir ? Exemple ?

Meneur et suiveur...

Jusqu’à présent, l'hypothèse est que les firmes jouaient simultanément. Nous allons désormais analyser un jeu séquentiel.

La firme 1 choisit ses quantités en 1er et la firme 2 suit: firme 1 est le “meneur” et la firme 2 est le “suiveur”. Le jeu devient ainsi un jeu séquentiel, avec les quantités produites comme variable stratégique.

Ces jeux s’intitule des jeux de Stackelberg.

Vaut-il mieux être le meneur ou le suiveur ?

Jeu de Stackelberg

Quel est le meilleur choix de la firme 2 quand elle observe le choix de la firme 1 ?

=> $y_{2}=R_{2}(y_{1}).$

La firme 1 connait cette meilleure réponse, et l’anticipe donc quand elle choisit sa quantité.

“Induction à rebours” : équilibre en sous-jeu.

La fonction de profit du meneur :

$\Pi _{1}^{m}(y_{1})=p(y_{1}+R_{2}(y_{1}))y_{1}-c_{1}(y_{1})$

Le meneur choisit $y_{1}$ pour max. ses profits.

Il va faire des profits plus important qu’à l’éq. De C-N, pourquoi ?

($y_{1}^{*},y_{2}^{*})$ : éq. de Cournot-Nash.

Courbe de réaction du suiveur.

($y_{1}^{S},y_{2}^{S}$): éq. de Stackelberg.

Que se passe-t-il si les firmes font une concurrence par les prix et non par les quantités ? => Jeux de Bertrand.

Jeu de Bertrand

Chaque firme a un coût marginal constant: c.

Toutes les firmes fixent leur prix simultanément.

Existe-t-il un équilibre de Nash ?

Oui, un seul équilibre: toutes les firmes annoncent un prix exactement égal à c (comme en concurrence parfaite).

Raisonnement : si la firme 1 annonce un prix élevé (i.e. prix de monopole) quelle est la meilleure réponse de 2 ?

Quelle est la meilleure réponse de 1 à cette stratégie ?

Jeu de prix séquentiel

Ici une firme fixe un prix en premier (meneur) et d’autres firmes suivent en fixant un prix ensuite (suiveurs).

On peut penser à une large firme (meneur) et beaucoup de petites firmes suiveuses. Les petites firmes sont preneuses de prix, et leur fonction d’offre agrégée est $Y_{s}(p)$.

La fonction de la demande est comme suit : $D(p)$.

Le meneur sait donc que s’il fixe un prix $p$, il fera face à la demande résiduelle : $L(p)=D(p)-Y_{S}(p)$

Sa fonction de profit est donc  : $\Pi _{m}(p)=p(D(p)-Y_{S}(p))-c_{m}(D(p)-Y_{s}(p))$

Le meneur choisit donc le $p^{*}$ qui maximise ce profit. Et les suiveurs fournissent $Y_{s}(p^{*})$ unités. Le meneur fournit la demande résiduelle $D(p^{*})-Y_{s}(p^{*})$.

Annexes

• Universalis‎, Encyclopædia. “ÉQUILIBRE ÉCONOMIQUE.” Encyclopædia Universalis, www.universalis.fr/encyclopedie/equilibre-economique/10-l-equilibre-de-nash/.