Modification de Incertitude

= L’incertitude =

Qu’est-ce qui est incertain en économie ?
*Futurs prix
*Future richesse
*Technologie future
*Actions des autres agents. 
*...

La plupart des individus n’aiment pas l’incertitude et se couvrent :
*Assurance.
*Portefeuilles financiers.

= État de la nature =

États de la nature possible:
*“accident de voiture” (<math>a</math>)
*“pas d’accident de voiture” (<math>na</math>).

L’accident arrive avec une proba. <math>p</math>, rien ne se passe avec la probabilité complémentaire <math>1 - p</math>;

= Contingences =

Un contrat qui implémente un paiement seulement en fonction de l’état du monde réalisé est contingent aux états du monde.

E.g. Un assureur ne paie que quand il y a un accident.

= Préférences face à l’incertain =

Ex.: Tire à pile ou face : 
*Si Pile, gagne 100 CHF 
*Si Face, perd 100 CHF

On appelle cela un ''pari juste'' car la Valeur Espérée (VE) = <math>\frac {1}{2} \times 100 + \frac {1}{2} \times -100 = 0</math>

Cependant, ce pari comporte un risque. Accepteriez-vous un tel pari ?

= Trois attitudes face au risque =

*'''Aversion au risque''' : refuse toujours un pari juste
*'''Goût pour le risque''' : accepte toujours un pari juste
*'''Neutralité face au risque''' : indifférent entre tous les paris justes (ne tient compte que de la VE)

= Préférences face au risque =

Pensez en terme de“Loterie”.
*Gain: <math>$90</math> avec probabilité 1/2 et gagne <math>$0</math> avec probabilité 1/2.
*<math>U($90) = 12</math>, <math>U($0) = 2</math>.
*Utilité espérée,
:::::<math>UE = \frac {1}{2} \times U($90) + \frac {1}{2} \times U($0) = \frac {1}{2} \times 12 + \frac {1}{2} \times 2 = 7</math>

La valeur espérée de la loterie est, <math>VE = \frac {1}{2} \times $90 + \frac {1}{2} = \times $0 = $45</math>

:<math>UE = 7</math> et <math>VE = $45</math>.
:<math>U($45) > 7</math> ⇒ <math>$45</math> avec certitude est préféré à la loterie ⇒ aversion au risque.
:<math>U($45) < 7</math> ⇒ La loterie est préférée aux <math>$45</math> avec certitude⇒ goût pour le risque.
:<math>U($45) = 7</math> ⇒ l’individu est indifférent ⇒ neutralité au risque.

[[File:microéconomie incertitude préférences face au risque 1.png|thumb|center|]]

[[File:microéconomie incertitude préférences face au risque 2.png|thumb|center|<math>U($45) > UE</math> ⇒ aversion au risque.]]

L'utilité marginale est décroissante.

[[File:microéconomie incertitude préférences face au risque 3.png|thumb|center|]]

[[File:microéconomie incertitude préférences face au risque 4.png|thumb|center|<math>U($45) < UE</math> ⇒ Goût du risque.]]

[[File:microéconomie incertitude préférences face au risque 5.png|thumb|center|<math>U($45) = UE</math> ⇒ neutre au risque.]]

= Assurance =

Un agent averse au risque a un revenu <math>w</math> et fait face à une probabilité <math>p</math> de perdre un montant <math>L</math>.

Il peut prendre une police d’assurance. Cette assurance lui rembourse un montant a en cas d’accident. Cette police lui coûte <math>qa</math> CHF.

Formellement, l’agent va chercher le montant d’assurance a qui maximise : <math>V = pu(w - qa - L + a) + (1 - p)u(w - qa)</math>

La condition de premier ordre donne : <math>pu’(w - qa - L + a)(1 - q) - (1 - p)u’(w - qa)q = 0</math>

Soit, <math>\frac {u'(w - qa - L + a)}{u' (w - qa)} = \frac {(1− p)q}{(1 − q) p}</math>.

Supposons un marché de l’assurance complètement concurrentiel.

Implique : <math>profit \espéré = 0</math>.

I.e. <math>Profit \espéré = qa – pa +(1 - p)0 = 0</math>

=> <math>q = p</math>

Si le prix pour 1 CHF d’assurance = la probabilité d’accident, on dit que la police est juste.