Incertitude
L’incertitude
Qu’est-ce qui est incertain en économie ?
- Futurs prix
- Future richesse
- Technologie future
- Actions des autres agents.
- ...
La plupart des individus n’aiment pas l’incertitude et se couvrent :
- Assurance.
- Portefeuilles financiers.
État de la nature
États de la nature possible:
- “accident de voiture” ($ a $)
- “pas d’accident de voiture” ($ na $).
L’accident arrive avec une proba. $ p $, rien ne se passe avec la probabilité complémentaire $ 1-p $;
Contingences
Un contrat qui implémente un paiement seulement en fonction de l’état du monde réalisé est contingent aux états du monde.
E.g. Un assureur ne paie que quand il y a un accident.
Préférences face à l’incertain
Ex.: Tire à pile ou face :
- Si Pile, gagne 100 CHF
- Si Face, perd 100 CHF
On appelle cela un pari juste car la Valeur Espérée (VE) = $ {\frac {1}{2}}\times 100+{\frac {1}{2}}\times -100=0 $
Cependant, ce pari comporte un risque. Accepteriez-vous un tel pari ?
Trois attitudes face au risque
- Aversion au risque : refuse toujours un pari juste
- Goût pour le risque : accepte toujours un pari juste
- Neutralité face au risque : indifférent entre tous les paris justes (ne tient compte que de la VE)
Préférences face au risque
Pensez en terme de“Loterie”.
- Gain: $ \$90 $ avec probabilité 1/2 et gagne $ \$0 $ avec probabilité 1/2.
- $ U(\$90)=12 $, $ U(\$0)=2 $.
- Utilité espérée,
- $ UE={\frac {1}{2}}\times U(\$90)+{\frac {1}{2}}\times U(\$0)={\frac {1}{2}}\times 12+{\frac {1}{2}}\times 2=7 $
La valeur espérée de la loterie est, $ VE={\frac {1}{2}}\times \$90+{\frac {1}{2}}=\times \$0=\$45 $
- $ UE=7 $ et $ VE=\$45 $.
- $ U(\$45)>7 $ ⇒ $ \$45 $ avec certitude est préféré à la loterie ⇒ aversion au risque.
- $ U(\$45)<7 $ ⇒ La loterie est préférée aux $ \$45 $ avec certitude⇒ goût pour le risque.
- $ U(\$45)=7 $ ⇒ l’individu est indifférent ⇒ neutralité au risque.
L'utilité marginale est décroissante.
Assurance
Un agent averse au risque a un revenu $ w $ et fait face à une probabilité $ p $ de perdre un montant $ L $.
Il peut prendre une police d’assurance. Cette assurance lui rembourse un montant a en cas d’accident. Cette police lui coûte $ qa $ CHF.
Formellement, l’agent va chercher le montant d’assurance a qui maximise : $ V=pu(w-qa-L+a)+(1-p)u(w-qa) $
La condition de premier ordre donne : Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): pu’(w - qa - L + a)(1 - q) - (1 - p)u’(w - qa)q = 0
Soit, Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): \frac {u'(w - qa - L + a)}{u' (w - qa)} = \frac {(1− p)q}{(1 − q) p} .
Supposons un marché de l’assurance complètement concurrentiel.
Implique : Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): profit\ espéré = 0 .
I.e. Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): Profit\ espéré = qa – pa +(1 - p)0 = 0
=> $ q=p $
Si le prix pour 1 CHF d’assurance = la probabilité d’accident, on dit que la police est juste.
Assurance “injuste”
Quand l’assurance est juste, le choix rationnel d’assurance : Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): \frac {u’ (w - qa - L + a)}{u' (w - qa)} = 1 .
Donc l’agent s’assure complètement : $ a*=L $.