Équilibre

Équilibre de marché

Un marché est à l’équilibre quand la quantité offerte est égale à la quantité demandée.

Description de l’équilibre et exemple d’interprétations du modèle (effet de taxes notamment).

NB : Cela s’applique aux marchés compétitifs !

Demande de marché.

Offre de marché.

$D(p^{*})=S(p^{*})$ est l’équilibre de marché.

Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle D(p’) < S(p’) = Excès\ d’offre}

Le prix diminue vers $p^{*}$. Intuition ?

Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle D(p”) > S(p”) = Excès\ de\ demande}

Le prix augmente vers $p^{*}$.

Un exemple d’équilibre de marché avec offre et demande linéaire :

$D(p)=a-bp$

$S(p)=c+dp$

Au prix d’eq. $p^{*}$, $D(p^{*})=S(p^{*})$. Soit, $a-bp^{*}=c+dp^{*}$

$p^{*}={\frac {a-c}{b+d}}$

et Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle q^* = D(p^*) = S(p^*) = ÷frac {ad + bc}{b + d}}

$q=D(p)=a-bp$ ⟺ $p={\frac {a-q}{b}}=D^{-1}(q)$

Avec l’équation de demande inverse, et

$q=S(p)=c+dp$ ⟺ $p={\frac {-c+q}{d}}=S^{-1}(q)$

À l’équilibre, $D^{-1}(q^{*})=S^{-1}(q^{*})$.

$p=D^{-1}(q)={\frac {a-q}{b}}$ et $p=S^{-1}(q)={\frac {-c+q}{d}}$

À la quantité d’équilibre $q^{*}$, $D^{-1}(p^{*})=S^{-1}(p^{*})$. Soit, ${\frac {a-q^{*}}{b}}={\frac {-c+q^{*}}{d}}$

$q^{*}={\frac {ad+bc}{b+d}}$ et $p^{*}=D^{-1}(q^{*})={\frac {a-c}{b+d}}$

La quantité est fixée.

$S(p)=c+dp$, soit $d=0$ et Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle S(p) ≡ c} .

Demande de marché.

$p^{*}=D^{-1}(q^{*})$; soit, $p^{*}={\frac {a-c}{b}}$.

$p^{*}={\frac {a-c}{b+d}}$

$q^{*}={\frac {ad+bc}{v+d}}$

Avec $d=0$

$p^{*}={\frac {a-c}{b}}$

$q^{*}=c$

Offre est extrêmement sensible au prix.

Taxe sur les quantités

Une taxe $t$ fait que le prix payé par les acheteurs, $p_{b}$, est plus haut que celui reçu par les vendeurs, $p_{s}$.

$p_{b}-p_{s}=t$

La taxe va changer l’équilibre: I.e. les quantités demandées à $p_{b}$ vont être égales aux quantités offertes à $p_{s}$.

$D(p_{s})=S(p_{s})$

$p_{b}-p_{s}=t$ et $D(p_{s})=S(p_{s})$ décrivent le nouvel équilibre (que la taxe soit appliquée sur les vendeurs ou les acheteurs).

Sans taxe.

La taxe sur les vendeurs fait augmenter l’offre de $t.

Les vendeurs reçoivent $p_{s}=p_{b}-t$.

Sans taxe.

Une taxe sur la vente diminue la demande de $t.

Et les acheteurs paient $p_{b}=p_{s}+t$.

Même effet des deux taxes sur les quantités d’équilibres.

$D(p_{b})=a-bp_{b}$ et $S(p_{s})=c+dp_{s}$.

Avec la taxe l’équilibre de marché satisfait,

$p_{b}=p_{s}+t$ et $D(p_{b})=S(p_{s})$ soit,

$p_{b}=p_{s}+t$ et $a-bp_{b}=c+dp_{s}$.

En substituant pour $p_{b}$ :

$a-b(p_{s}+t)=c+dp_{s}$ => $p_{s}={\frac {a-c-by}{b+d}}$

$p_{s}={\frac {a-c-bt}{b+d}}$ et $p_{b}+p_{s}+t$ donne $p_{s}={\frac {a-c+bt}{b+d}}$.

La quantité échangée à l’équilibre est comme suit :

$q^{t}=D(p_{b})=S(p_{s})=a-bp_{b}={\frac {ad+bc+bdt}{b+d}}$

Quand $t$ tend vers $0$ les prix tendent vers le prix d’équilibre (sans taxe) et les quantités vers les quantités d’équilibre (sans taxe).

Quand $t$ augmente :

• $p_{s}$ diminue,
• $p_{b}$ augmente,
• $q_{t}$ diminue.

La taxe par unité payée par l’acheteur est :

$p_{b}-p^{*}={\frac {a-c+dt}{b+d}}-{\frac {a-c}{b+d}}={\frac {dt}{b+d}}$

La taxe par unité pour le vendeur :

$p^{*}-p_{s}={\frac {a-c}{b+d}}-{\frac {a-c-dt}{b+d}}={\frac {dt}{b+d}}$

La taxe totale est :

$T=tq^{t}=t{\frac {ad+bc-bdt}{d+d}}$

Répartition de la taxe

L’élasticité au prix est importante pour comprendre la répartition d’une taxe entre vendeur et acheteur.

Autour de $p=p^{*}$ l’élasticité prix de la demande est Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle ε_D ≈ \frac {\frac {\Delta q}{q^*}}{\frac {p_b - b^*}{p^*}}} .

Soit, Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle ε_D ≈ \frac {\frac {\Delta q}{q^*}}{\frac {p_b - b^*}{p^*}}} ⇒ Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle p_b - p^* ≈ \frac {\Delta q \times p^*}{ε_D \times q^*}}

Autour de $p=p^{*}$ l’élasticité prix de l’offre est Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle ε_S ≈ \frac {\frac {\Delta q}{q^*}}{\frac {p_s - p^*}{p^*}}}

Soit, Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle ε_D ≈ \frac {\frac {\Delta q}{q^*}}{\frac {p_s - p^*}{p^*}}} ⇒ Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle p_s - p^* ≈ \frac {\Delta q \times p^*}{ε_s \times q^*}}

Répartition de la taxe = Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle p_b - p^* ≈ \frac {\Delta q \times p^*}{ε_D \times q^*}} et Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle p_s - p^* ≈ \frac {\Delta q \times p^*}{ε_s \times q^*}}

Soit, Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle \frac {p_b - p^*}{p^* - p_s} ≈ - \frac {ε_S}{ε_D}}

La répartition : Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle \frac {p_b - p^*}{p^* - p_s} ≈ - \frac {ε_S}{ε_D}}

La fraction $t payée par les acheteurs augmente lorsque l’offre devient plus élastique ou/et la demande devient moins élastique.

Quand Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle ε_D = 0} , les acheteurs paient toute la taxe, même si la taxe est appliquée aux vendeurs !

Perte sèche

Une taxe prélevée sur un marché compétitif diminue donc le bien être total (surplus du consommateur et surplus du producteur).

La perte de surplus total est appelé perte sèche.

Sans taxe.

No tax.

Avec taxe.

La taxe transfert du surplus vers le gouvernement 􏰀... et diminue le surplus total.

􏰀

La perte sèche diminue quand la demande devient moins élastique.

Quand Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle ε_D = 0} , la taxe ne cause aucune diminution de revenus.