Modification de Le Choix

= La rationalité économique =

L'hypothèse comportementale de la rationalité nous permet d'affirmer que le consommateur va sélectionner la meilleure alternative possible qui s'offre à lui.

Démarche : Le consommateur doit faire un choix sous contrainte.

Il va sélectionner l'alternative qui lui apporte la plus grande satisfaction étant donné ses contraintes.

Formellement : maximisation de la fonction d'utilité sous la contrainte de budget.

L'ensemble des choix possibles (respectant la contrainte de budget) est l'ensemble des choix.

Où se situe le meilleur choix possible sur le graphique usuel à deux biens ?

= Choix rationnel contraint =

[[File:microéconomie contrainte budget choix rationnel contraint 1.gif|thumb|center]]

= Le Choix optimal =

(<math>x_1^*, x_2^*</math>) est le panier préféré parmi ceux que l'agent peut s'offrir.

[[File:microéconomie contrainte budget choix optimal 1.png|thumb|center]]


== Choix optimal ==
Confrontation entre préférences et possibilités

Pourquoi le panier b domine-t-il tous les autres ?

[[File:microéconomie contrainte budget choix optimal 2.png|thumb|center]]

Le panier préféré pour un agent, étant donné les prix et le revenu, est dénoté par (<math>x_1^*, x_2^*</math>).

Il se trouve sur la courbe d’indifférence la plus haute possible, tout en étant sur la contrainte budgétaire 

Nous allons utiliser ces propriétés pour le déterminer formellement.

(<math>x_1^*, x_2^*</math>) satisfait 2 conditions:

:(a) tout le budget est dépensé; <math>p_1x_1^* + p_2x_2^* = m</math>
:(b) La pente de la droite de budget, <math>-\frac {p_1}{p_2}</math>, et la pente de la CI contenant (<math>x_1^*, x_2^*</math>) sont égales à (<math>x_1^*, x_2^*</math>).

Cette information va nous permettre de trouver le panier optimal, étant donné des préférences (une fonction d'utilité), des prix et le revenu.

== Exemple ==
Supposons les préférences suivantes :
:<math>U(x_1, x_2) = x_1^a x_2^b</math>
Alors :
:<math>UM_1 = \frac {∂U}{∂ x_1} = \frac {1}{2} x_1^{-\frac {1}{2}} x_2^{\frac {1}{2}}</math>
:<math>UM_2 = \frac {∂U}{∂ x_2} = \frac {1}{2} x_1^{\frac {1}{2}} x_2^{-\frac {1}{2}}</math>

=== Utilité Cobb-Douglas ===
Le TMS est égal à :
:<math>TMS = \frac {dx_2}{dx_1} = - \frac {\frac {∂U}{∂ x_1}}{\frac {∂U}{∂ x_2}} = - \frac {ax_1^{a - 1}x_2^b}{bx_1^ax_2^{b - 1}} = - \frac {ax_2}{bx_1}</math>

À  (<math>x_1^*, x_2^*</math>), <math>TMS = - \frac {p_1}{p_2}</math> soit :
:<math> - \frac {ax_2}{bx_1} = - \frac {p_1}{p_2} ⇒ x_2^* = \frac {bp_1}{ap_2} x_1^*</math> (A)

(<math>x_1^*, x_2^*</math>) utilise tout le budget :
:<math></math>

=== Substituts Parfaits ===

=== Compléments Parfaits ===

= Rappel : Problème de Maximisation =
@@ Ligne 5 : / Ligne 5 : @@
 Démarche : Le consommateur doit faire un choix sous contrainte.
-Il va sélectionner l’alternative qui lui apporte la plus grande satisfaction étant donné ses contraintes.
+Il va sélectionner l'alternative qui lui apporte la plus grande satisfaction étant donné ses contraintes.
 Formellement : maximisation de la fonction d'utilité sous la contrainte de budget.
@@ Ligne 22 : / Ligne 22 : @@
 [[File:microéconomie contrainte budget choix optimal 1.png|thumb|center]]
 == Choix optimal ==
@@ Ligne 43 : / Ligne 44 : @@
 Cette information va nous permettre de trouver le panier optimal, étant donné des préférences (une fonction d'utilité), des prix et le revenu.
-=== Exemple ===
+== Exemple ==
 Supposons les préférences suivantes :
 :<math>U(x_1, x_2) = x_1^a x_2^b</math>
 Alors :
-:<math>UM_1 = \frac {\partial U}{\partial  x_1} = \frac {1}{2} x_1^{-\frac {1}{2}} x_2^{\frac {1}{2}}</math>
+:<math>UM_1 = \frac {∂U}{∂ x_1} = \frac {1}{2} x_1^{-\frac {1}{2}} x_2^{\frac {1}{2}}</math>
-:<math>UM_2 = \frac {\partial U}{\partial  x_2} = \frac {1}{2} x_1^{\frac {1}{2}} x_2^{-\frac {1}{2}}</math>
+:<math>UM_2 = \frac {∂U}{∂ x_2} = \frac {1}{2} x_1^{\frac {1}{2}} x_2^{-\frac {1}{2}}</math>
 === Utilité Cobb-Douglas ===
 Le TMS est égal à :
-:<math>TMS = \frac {dx_2}{dx_1} = - \frac {\frac {\partial U}{\partial  x_1}}{\frac {\partial U}{\partial  x_2}} = - \frac {ax_1^{a - 1}x_2^b}{bx_1^ax_2^{b - 1}} = - \frac {ax_2}{bx_1}</math>
+:<math>TMS = \frac {dx_2}{dx_1} = - \frac {\frac {∂U}{∂ x_1}}{\frac {∂U}{∂ x_2}} = - \frac {ax_1^{a - 1}x_2^b}{bx_1^ax_2^{b - 1}} = - \frac {ax_2}{bx_1}</math>
 À  (<math>x_1^*, x_2^*</math>), <math>TMS = - \frac {p_1}{p_2}</math> soit :
@@ Ligne 58 : / Ligne 59 : @@
 (<math>x_1^*, x_2^*</math>) utilise tout le budget :
-:<math>p_1x_1^* + p_2x_2^* = m</math> (B)
+:<math></math>
-Nous savons donc que <math>x_2^* = \frac {bp_1}{ap_2} x_1^*</math> (1) en substituant <math>x_2^*</math> dans <math>p_1x_1^* + p_2x_2^* = m</math> (B).
-Nous obtenons alors : <math> p_1x_1^* + p_2 \frac {bp_1}{ap_2} x_1^* = m</math>.
-Ce qui simplifie : <math>x_1^* = \frac {am}{(a + b)p_1}</math>
-En substituant <math>x_1^*</math> dans <math>p_1x_1^* + p_2x_2^* = m</math>, nous obtenons : <math>x_2^* = \frac {bm}{(a + b)p_2}</math>
-Nous avons donc trouvé que le panier préféré pour un consommateur avec des préférence CB de la forme :
-:<math>U(x_1, x_2) = x_1^ax_2^b</math>
-est,
-:<math>(x_1^*, x_2^*) = (\frac {am}{(a +b)p_1}, \frac {bm}{(a + b)p_2})</math>
-[[File:microéconomie contrainte budget exemple utilité Cobb-Douglas 1.png|thumb|center]]
-=== Résumé ===
-Une méthode de résolution dans un cas "standard". Il faut utiliser ces deux conditions, toujours vraies à un choix optimal :
-:(a) <math>p_1x_1^* + p_2x_2^* = m</math>
-:(b) la pente de la droite de budget, <math>- \frac {p_1}{p_2}</math>, et de la CI contenant (<math>x_1^*, x_2^*</math>) sont égales à (<math>x_1^*, x_2^*</math>).
-= Le choix: cas spécifiques =
-Que se passe-t-il si <math>x_1^* = 0</math> ?
-Si un agent ne consomme que d'un bien (et pas du tout de l'autre) nous disons que le panier optimal est une solution de coin.
-== Exemple : Substituts Parfaits ==
-[[File:microéconomie contrainte budget exemple substituts Parfaits 1.png|thumb|center]]
-[[File:microéconomie contrainte budget exemple substituts Parfaits 2.png|thumb|center]]
-[[File:microéconomie contrainte budget exemple substituts Parfaits 3.png|thumb|center]]
-[[File:microéconomie contrainte budget exemple substituts Parfaits 4.png|thumb|center]]
-== Exemple : Compléments Parfaits ==
-:::::<math>U(x_1, x_2) = min\{ax_1, x_2\}</math>
-[[File:microéconomie contrainte budget exemple compléments parfaits 1.png|thumb|center]]
-[[File:microéconomie contrainte budget exemple compléments parfaits 2.png|thumb|center]]
-[[File:microéconomie contrainte budget exemple compléments parfaits 3.png|thumb|center]]
-[[File:microéconomie contrainte budget exemple compléments parfaits 4.png|thumb|center]]
+=== Substituts Parfaits ===
-[[File:microéconomie contrainte budget exemple compléments parfaits 5.png|thumb|center]]
+=== Compléments Parfaits ===
 = Rappel : Problème de Maximisation =
-Nous avons vu une première méthode de résolution (par substitution).
-Une autre méthode, plus générale, est la méthode dite du multiplicateur de Lagrange.
-Le Lagrangien s’écrit comme suit:
-:<math>L = u(x_1, x_2) - \lambda (p_1x_1 + p_2x_2 - m)</math>
-Le but est de maximiser directement <math>L</math>, qui contient l’utilité et les contraintes.
-Les conditions de premier ordre sont :
-:<math>\frac {\partial L}{\partial x_1} = \frac {\partial u}{\partial x_1 - \lambda p_1} = 0</math>
-:<math>\frac {\partial L}{\partial x_2} = \frac {\partial u}{\partial x_2 - \lambda p_2} = 0</math>
-:<math>\frac {\partial L}{\partial \lambda } = p_1x_1 + p_2x_2 - m = 0</math>
-Les deux premières conditions ensemble donnent à nouveau :
-:<math>\frac {\frac {\partial u}{\partial x_1}}{\frac {\partial u}{\partial x_2}} = \frac {p_1}{p_2}</math>
-= Annexes =
-= Références =
-<references />
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