Modification de Bien Public

= Biens Publics =

Il est très facile de trouver des exemples de “biens publics”: école, piscine municipale, parc naturel, autoroute...

Cependant, les biens publics ne sont pas forcément ceux fournis par une collectivité (ils ne sont pas définis par cette caractéristique).

Un bien public est caractérisé par la non- exclusion et la non-rivalité dans la consommation.
*'''Non-exclusion''' – personne ne peut être exclue de la consommation du bien (armée).
*'''Non-rivalité''' – la consommation d’une personne n’impacte pas la consommation d’une autre personne (air pur).

= Prix de réserve =

Le prix de réserve est le consentement à payer maximal d’un individu pour obtenir une unité d’un bien.

La richesse d’un individu : <math>w</math>.

L’utilité sans le bien public est <math>U(w,0)</math>.

L’utilité d’avoir le bien public en payant un prix <math>p</math> est <math>U(w - p,1)</math>.

Le prix de réserve <math>r</math> est donc <math>U(w,0) = U(w - r, 1)</math>.

Exemple : <math>U(x_1,x_2) = x_1(x_2 + 1)</math>.

L’utilité sans acheter le bien 2 est <math>U(w,0) = w(0 + 1) = w</math>.

L’utilité en payant p pour une unité du bien 2 est <math>U(w - p,1) = (w - p)(1 + 1) = 2(w - p)</math>.

Nous savons que le prix de réserve est <math>U(w,0) = U(w - r, 1)</math>

Soit, <math>w = 2(w - r)</math> ⇒ <math>r = \frac {w}{2}</math>.

= Quand fournir un bien public ? =

Une unité du bien coûte <math>c</math> (i.e. construire une école).

Deux consommateurs, A et B.
Les contributions individuelles au bien public sont <math>g_A</math> et <math>g_B</math>.

Pour que le bien public soit fourni : <math>g_A + g_B \geqslant c</math>.

Il faut que les paiements soit individuellement rationnels; i.e.
:::::<math>U_A(w_A ,0) ≤ U_A(w_A − g_A,1)</math>
et
:::::<math>U_B(w_B ,0) ≤ U_B(w_B − g_B,1)</math>

Du coup, <math>g ≤ r</math> et <math>g ≤ r</math>.

Si, de plus, les conditions suivantes sont respectées 
:::::<math>U_A(w_A ,0) < U_A(w_A - g_A,1)</math>
et
:::::<math>U_B(w_B ,0) < U_B(w_B - g_B,1)</math>

Alors, fournir le bien public est une amélioration au sens de Pareto.

=> <math>r_A + r_B > c</math> est une condition suffisante pour que fournir un bien public soit une amélioration au sens de Pareto.

= Bien public fourni par le privé ? =

Supposons <math>r > c</math> et <math>r < c</math>

Alors <math>A</math> fournirait le bien public par lui même, même sans contribution de <math>B</math>.

<math>B</math> bénéficie alors du bien public gratuitement; free-riding.

Supposons <math>r < c</math> et <math>r < c</math>.

Alors ni <math>A</math> ni <math>B</math> ne fournirait le bien public par lui-même.

Cependant si <math>r_1 + r_B > c</math> alors il serait efficace de fournir le bien public. 

Problème !

= Free-Riding =

Supposons que <math>A</math> et <math>B</math> ont chacun deux actions – fournir le bien public individuellement ou non

:<math>c = $100</math>.

Gain de <math>A</math> si le BP est fourni = <math>$80</math>.

Gain de <math>B</math> si le BP est fourni = <math>$65</math>.

NB : <math>$80 + $65 > $100</math>, il est donc efficace de fournir le BP.

Simplification : les agents peuvent seulement payer <math>100</math> ou <math>0</math>.

[[File:microéconomie bien public freeriding 1.png|thumb|center|(Paie Pas, Paie Pas) est le seul équilibre de Nash.]]

Maintenant permettons à <math>A</math> et <math>B</math> de faire des contributions au BP.

E.g. <math>A</math> contribue <math>$60</math> et <math>B</math> contribue <math>$40</math>.

Gain de <math>A</math> = <math>$40 > $0</math>.

Gain de <math>B</math> = <math>$25 > $0</math>.

[[File:microéconomie bien public freeriding 2.png|thumb|center|]]

Il existe alors 2 équilibres: un où le BP est fourni, un où il n’est pas fourni.

Cependant le free-riding est toujours possible. Peut-on améliorer cette situation ?

= Problème de révélation... =

On ne peut calculer le niveau efficace de BP (ou s’il faut le fournir ou non) seulement si l’on connait les bénéfices que les agents retirent du BP...

En pratique, cette information est privée.

Il faut donc l’éliciter !

Objectif d’une littérature le “mechanism design”.

Un mécanisme qui fait que la révélation de l’information est individuellement rationnelle est appelé mécanisme de révélation.

E.g. La taxation Vickrey-Clark-Groves (ou mécanisme de l’agent pivot).

<math>N</math> individus; <math>i = 1,...,N</math>.

Préférences quasi-linéaires.

<math>v_i</math> est la valeur (privée) que l’individu <math>i</math> place sur l’existence du bien public.

L’individu <math>i</math> doit payer <math>c_i</math> si le bien public est fourni (i.e. taxe).

<math>n_i = v_i - c_i</math> est la valeur nette pour <math>i=1,...,N</math>. 

Il est efficace de fournir le bien public si <math>\sum_{i=1}^N v_i > \sum_{i=1}^N c_i ⇔ \sum_{i=1}^N n_i > 0</math>.

Si <math>\sum_{i≠1}^N n_i < 0</math> et <math>\sum_{i≠1}^N n_i + n_j > 0</math>

ou <math>\sum_{i≠1}^N n_i > 0</math> et <math>\sum_{i≠1}^N n_i + n_j < 0</math>

Définition : on dit alors que l’agent <math>j</math> est pivotal; i.e. sa présence change la décision de fournir ou non le bien public.

Quel impact la présence d’un agent pivot impose-t-elle aux autres ?

Si <math>\sum_{i≠1}^N n_i < 0</math> alors Si <math>- \sum_{i≠1}^N n_i > 0</math> est la perte. 

Si <math>\sum_{i≠1}^N n_i > 0</math> alors Si <math>\sum_{i≠1}^N n_i > 0</math> est la perte.

Pour avoir une décision efficace, il faut que l’agent pivot paie l’ensemble du coût qu’il fait subir aux autres (ou recevoir l’ens. du bénéfice dans d’autres environnements).

Le mécanisme VCG fait payer aux agents pivots l’ensemble des coûts révélés de leur action d’une façon qui assure une révélation honnête.

Le mécanisme VCG :
*Assignons un coût <math>c_i</math> à chaque individu si le BP est fourni.
*Chaque agent annonce sa valeur nette pour la présence du bien public, si (peut mentir),

Le BP est fourni si <math>\sum_{i=1}^N s_i > 0</math>

Un agent <math>j</math> pivotal qui change la décision de “fournir le BP” à “ne pas fournir le BP” paie une taxe de <math>\sum_{i≠1}^N s_i</math>.

Un agent <math>j</math> pivotal qui change la décision de “ne pas fournir le BP” à “fournir le BP” paie une taxe de <math>- \sum_{i≠1}^N s_i</math>.

Note : les taxes ne sont pas redistribuées aux agents mais sont allouées ailleurs.

Pourquoi ce mécanisme assure la révélation de l’information privée à l’équilibre ?

Intuition : un agent pivot ne paie une taxe qu’en fonction de ce qu’ont annoncé les autres !

=> l’annonce d’un agent ne change pas son gain (être honnête: stratégie dominante).

Exemple : 3 individus; <math>A</math>, <math>B</math> et <math>C</math>.
*Les bénéfices que retirent les agent si le BP est fourni: <math>$40</math> pour <math>A</math>, <math>$50</math> pour <math>B</math>, <math>$110</math> pour <math>C</math>.
*Le coût de fournir le bien est <math>$180</math>.
NB : <math>$180 < $40 + $50 + $110</math>, il est efficace de fournir le BP.

Assignons un partage égalitaire des coûts, <math>c_1 = $60, c_2  = $60, c_3 = $60</math>.

La valeur nette pour <math>B</math> et <math>C</math> somme à <math>$(50 - 60) + $(110 - 60) = $40 > 0</math>.

La valeur nette pour <math>A</math>, <math>B</math> et <math>C</math> somme à <math>$(40 - 60) + $40 = $20 > 0</math>.

=> <math>A</math> n’est pas pivot.

Si <math>B</math> et <math>C</math> sont honnêtes, que doit annoncer <math>A</math> ?

Si <math>s_A > -20</math>, alors <math>A</math> ne change pas la décision.

<math>A</math> peut changer la décision en devenant pivotal et en annonçant <math>s_A + $(50 - 60) + $(110 - 60) < 0</math>;

I.e. <math>s_A < -$40</math>.

Alors <math>A</math> paie une taxe de <math>$40</math>, et son gain net est <math>-40 < -20</math>. Il perd par rapport à son annonce “honnête”.

<math>A</math> ne peut pas faire mieux qu’annoncer sa vraie valeur nette = <math>-20</math> et voir le BP fourni.

La valeur nette pour <math>A</math> et <math>C</math> somme à <math>$(40 - 60) + $(110 - 60) = $30 > 0</math>.

La valeur nette pour <math>A</math>, <math>B</math> et <math>C</math> somme à <math>$(50 - 60) + $30 = $20 > 0</math>.

=> <math>B</math> n’est pas pivot.

Si <math>A</math> et <math>C</math> sont honnêtes, que doit annoncer <math>B</math> ?

Si <math>s_B > -10</math>, alors <math>B</math> ne change pas la décision.

<math>B</math> peut changer la décision en devenant pivotal et en annonçant <math>s_B + $(40 - 60) + $(110 – 60) <0</math>;

I.e. <math>s_B < -$30</math>.

Alors <math>B</math> paie une taxe de <math>$30</math>, et son gain net est de <math>-30 < -10</math>.

<math>B</math> ne peut pas faire mieux qu’annoncer sa vraie valeur nette = <math>-10</math> et voir le BP fourni.

La valeur nette pour <math>A</math> et <math>B</math> somme à <math>$(40 - 60) + $(50 - 60) = -30 <0</math>.

La valeur nette pour <math>A</math>, <math>B</math> et <math>C</math> somme à <math>$(110 - 60) - 30 = $20 > 0</math>.

=> <math>C</math> est pivot. Sa présence change la décision (sa présence fait que le BP est construit).

Si <math>A</math> et <math>B</math> sont honnêtes, que doit annoncer <math>C</math> ?

Si <math>s_B > 50</math>, alors <math>C</math> ne change pas la décision. Il reste pivotal et paie la même taxe de <math>30$</math>.

<math>C</math> peut également choisir de ne plus être pivotal en annonçant <math>s_B + $(40 - 60) + $(50 - 60) < 0</math>;

I.e. <math>s_B < 30$</math>.

Alors <math>C</math> a un gain de <math>0</math> car le BP n’est pas fourni et son gain net est de <math>20</math> s’il annonce sa vraie valeur.

<math>C</math> ne peut pas faire mieux qu’annoncer sa vraie valeur nette = <math>50</math>, payer une taxe de <math>30</math> et voir le BP fourni.

Ce mécanisme permet de révéler l’information privée des agents et d’atteindre l’allocation efficace (ici fourniture du bien public).

Crée une inefficacité: doit prélever de l’argent du système, non-redistribué.

Autre problème ?

Certains agents, s’ils avaient le choix, ne participeraient pas au mécanisme.

Solution : implanter d’autres partages de coûts (i.e. proportionnel aux bénéfices...). Mécanismes plus compliqués.

NB: Vickrey-Clark-Groves, mécanisme général inspiré de l’agent pivot avec beaucoup d’applications (i.e. enchère au second prix).

Pour cet environnement: seul mécanisme qui implante la solution efficace en stratégie dominante

= Annexes =

= Références = 
<references/>

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