Nous avons vu la modélisation des préférences afin de comprendre l'aspect du choix lié à la "satisfaction personnelle". Cependant, ces choix sont rarements complètement libres... nous allons modéliser ces contraintes, notamment la contrainte de budget.

L'ensemble de consommation[modifier | modifier le wikicode]

Un ensemble de consommation est l'ensemble de tous les choix de consommation possible pour un individu.

Il existe bien sûr nombre de contraintes sur cet ensemble : budget, temps...

Contraintes de budget[modifier | modifier le wikicode]

Un panier de consommation contenant $x_{1}$ unité du bien $1$ , $x_{2}$ unité du bien $2$ ... jusqu'à $x_{n}$ unité du bien $n$ est dénoté par le vecteur $x=(x_{1},x_{2},...,x_{n}$ ).

Les prix des biens sont dénotés par le vecteur $p=(p_{1},p_{2},...,p_{n})$ .

Il est possible pour un individu de consommer le panier ( $x_{1},...,x_{n}$ ) aux prix $p_{1},...,p_{n}$ si $p_{1}x_{1}+...+p_{n}x_{n}\leq m$ où $m$ dénote le revenu de l'agent.

L'ensemble de budget d'un consommateur est l'ensemble des paniers de biens qu'il peut s'offrir; $B(p_{1},...,p_{n},m)=\{(x_{1},...,x_{n})|x_{1}\geq 0,...,x_{n}\geq 0$ et $p_{1}x_{1}+...+p_{n}x_{n}\leq m\}$

Les paniers que l'agent est tout juste capable de payer constituent la contrainte de budget. C'est l'ensemble $\{(x_{1},...,x_{n})|x_{1}\geq 0,...,x_{n}\geq 0$ et $p_{1}x_{1}+...+p_{n}x_{n}=m\}$ .

La contrainte de budget est la limite supérieure de l'ensemble de budget.

L'ensemble et la contrainte de budget, deux biens[modifier | modifier le wikicode]

La contrainte de budget : $p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m$ .

N.B: $p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m$ donne $x_{2}=-{\frac {p_{1}}{p_{2}}}x_{1}+{\frac {m}{p_{2}}}$ . La pente est $-{\frac {1}{p_{2}}}$ .

La contrainte de budget[modifier | modifier le wikicode]

Pour deux biens et $x_{1}$ sur l'axe horizontal, la pente de la contrainte de budget est $-{\frac {p_{1}}{p_{2}}}$ .

A budget constant, pour augmenter $x_{1}$ de $1$ unité il faut réduire $x_{2}$ de ${\frac {p_{1}}{p_{2}}}$ .

Pente ("taux d'échange" du marché) : -

p_{1}/p_{2}

Revenu et changement de prix[modifier | modifier le wikicode]

La contrainte de budget dépend du revenu et des prix.

Comment cette contrainte change quand une de ces variable varie ?

Plus haut revenu[modifier | modifier le wikicode]

Plus bas revenu[modifier | modifier le wikicode]

Revenu[modifier | modifier le wikicode]

Une augmentation de revenu augmente l'ensemble de choix (sans éliminer aucun choix précédant l'augmentation).

Une diminution de revenu diminue l'espace des choix.

Changement de prix : $p_{1}$ diminue de $p1^{\prime }$ à $p1^{\prime \prime }$ [modifier | modifier le wikicode]

Changement de prix[modifier | modifier le wikicode]

Réduire le prix d'un bien fait pivoter la contrainte budgétaire vers l'extérieur. Diminuer un prix étend donc l'ensemble de budget (et inversement pour une augmentation de prix).

La pente de la droite de budget change !

Exemple : la TVA[modifier | modifier le wikicode]

La taxe sur la valeur ajouté est une taxe ad valorem. Une TVA de 5% augmente tous les prix de 5%, les prix passent donc de $p$ à Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle (1 + 0⋅05)p = 1⋅05p} .

TVA[modifier | modifier le wikicode]

Une taxe uniforme comme la TVA d'un taux t change la contrainte de :

p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m

à

(1+t)p_{1}x_{1}+(1+t)p_{2}x_{2}=m

soit,

p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}={\frac {m}{1+t}}

La diminution équivalente en revenu est : $m-{\frac {m}{1+t}}={\frac {t}{1+t}}\times m$

Une TVA d'un taux $t$ est équivalent à une taxe sur le revenu d'un taux : ${\frac {t}{1+t}}$

Unité de mesure[modifier | modifier le wikicode]

Changer l'unité de mesure ne change ni l'ensemble de budget ni la contrainte budgétaire.

Si tout est mesuré en centimes, alors $p_{1}=200$ , $p_{2}=300$ , $m=1200$ et la contrainte est $200x_{1}+300x_{2}=1200$ , la même que celle mesurée en francs, $2x_{1}+3x_{2}=12$ .

Un rabais sur les quantités[modifier | modifier le wikicode]

Imaginons $p_{2}=1$ (fixé) avec $p_{1}=2$ pour $0\leq x_{1}\leq 20$ et $p_{1}=1$ pour $x_{1}>20$ .

De plus, l'individu possède un revenu ( $m$ ) de 100 Francs.

Des formes plus générales[modifier | modifier le wikicode]

Les choix sont généralement contraints par d'autres facteurs que le budget (le temps, les nécessité vitales...). Un panier de consommation fait partie de l'ensemble des choix s'il satisfait toutes les contraintes.