La firme

Après l'analyse du consommateur et de la modélisation de ses choix, nous nous intéressons à la firme.

Très similaire: la firme choisit parmi un ensemble d'alternatives celle qui maximise ses intérêts (i.e. son profit).

Technologie

Une technologie est un processus par lequel des inputs sont convertis en output.

E.g. Du travail, un ordinateur, un projecteur, une salle de classe et beaucoup de café sont combinés pour produire ce cours.

Il est possible que plusieurs inputs, ou plusieurs technologies, puissent produire le même output: craie/tableau pour le cours, ou combinaison différente des inputs précédents.

Panier d’inputs

$x_{i}$ dénote la quantité utilisée de l’input Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle i} ; i.e. des heures de travail.

Un panier d’input est un vecteur des quantités d’input ; (Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x_1, x_2, … , x_n} ).

E.g. Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x_1, x_2, x_3) = (6, 0, 3)} .

Les Fonctions de Production

Une fonction de production Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle f(.)} associée à une technologie donne la quantité maximum d’output qu’il est possible de produire avec un panier d’input.

Si Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle y} dénote la quantité produite :

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle y = f(x_1, ..., x_n)}

Un Input, Un output

Ensemble de technologie

Un plan de production est un panier d’inputs et un niveau d’output; (Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x_1, … , x_n, y} ).

Un plan de production est réalisable si,

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle y ≤ f(x_1, ..., x_n)}

L’ensemble de tous les plans de production faisables est un ensemble de technologie.

L’ensemble de technologie est,

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle T = \{(x_1, ..., x_n, y) | y ≤ f(x_1, ..., x_n)} et Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x_1 ≥ 0, ..., x_n, ≥ 0\}}

Un Input, Un output

Production à court terme

Important:

Forme de PT
Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle Pm_L = 0} quand PT atteint son maximum
Si Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle Pm_L > PM_L} , alors PML augmente
Si Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle Pm_L < PMLPM_L} , alors PML diminue
</math>PM_L = PmLPM_L</math> au point où PML atteint son maximum

Productivité marginale

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle y = f(x_1, ..., x_n)}

La productivité marginale d’un input i est la variation d’output y entraîné par la variation de la quantitée d’input Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle i} (ceteris paribus).

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle Pm_i = \frac {∂y}{∂x_i}}

E.g. Si,

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle y = f(x_1, x_2) = x_1^{\frac{1}{3}}x_2^{\frac{2}{3}}}

La productivité marginale du bien 1 est :

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle Pm_1 = \frac {∂y}{∂x_1} = \frac {1}{3}x_1^{- \frac {2}{3}}x_2^{\frac{2}{3}}}

La productivité marginale du bien 2 est :

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle Pm_2 = \frac {∂y}{∂x_2} = \frac {2}{3}x_1^{\frac {1}{3}}x_2^{- \frac{1}{3}}}

La productivité marginale du bien Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle i} est décroissante si elle diminue quand on augmente la quantitée du bien Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle i} . C’est le cas standard.

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \frac {∂Pm_i}{∂x_i} = \frac {∂}{∂x_i} (\frac {∂y}{∂x_i}) = \frac {∂^2y}{∂x_i^2} < 0}

E.g. si Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle y = x_1^{\frac {1}{3}}x_2^{\frac {2}{3}}} , alors Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \frac {1}{3}x_1^{- \frac {2}{3}}x_2^{\frac{2}{3}}} et Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \frac {2}{3}x_1^{\frac {1}{3}}x_2^{- \frac{1}{3}}} , soit Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \frac {∂Pm_1}{∂x_1} = - \frac {2}{9}x_1^{- \frac {5}{3}}x_2^{\frac {2}{3}} < 0} et Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \frac {∂Pm_2}{∂x_2} = - \frac {2}{9}x_1^{\frac {1}{3}}x_2^{- \frac {4}{3}} < 0}

Les productivité marginale sont chacune décroissantes.

Une technologie avec plusieurs inputs

Une isoquante associée à la quantité produite y est l’ensemble de tous les paniers d’Input pouvant produire Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle y} .

NB: Mêmes propriétés qu’une Courbe d’Indifférence associée à un niveau d’utilité U.

Exemple : Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle y = f(x_1, x_2) = 2x_1^{\frac {1}{3}}x_2^{\frac {1}{3}}}

Isoquantes avec 2 inputs variables

Tous comme les CI, les isoquantes peuvent être représentées sur un graphe avec la quantitée produite sur un axe vertical, et les deux inputs variables sur les axes horizontaux.

Microéconomie technologie isoquantes avec 2 inputs variables 4.png

La collection complète de toutes les isoquantes est la carte d’isoquantes.

La carte d’isoquante est l’équivalent de la fonction de production

Rendements d’échelle

La productivité marginale décrit la façon dont change l'output quand on fait varier un seul input.

Les rendements d'échelles décrit la manière dont change l'output quand tous les inputs changent d'une même proportion.

Si pour tous les paniers (Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x_1, …, x_n} ), Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle f(kx_1, kx_2, ..., kx_n) = kf(x_1, x_2, ..., x_n)} . Alors la technologie décrite par la fonction Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle f(.)} présente des rendements d'échelle constants.E.g. (Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle k = 2} ) en doublant tous les facteurs, on double la production.

Si pour tous les paniers (Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x_1, …, x_n} ), Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle f(kx_1, kx_2, ..., kx_n) < k^af(x_1, x_2, ..., x_n)} . Alors la technologie décrite par la fonction Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle f(.)} présente des rendements d'échelle croissants. E.g. (Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle k = 2} ) en doublant tous les facteurs, on fait plus que doubler la production.

Si pour tous les paniers (Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x_1, …, x_n} ), Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle f(kx_1, kx_2, ..., kx_n) > k^af(x_1, x_2, ..., x_n)} . Alors la technologie décrite par la fonction Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle f(.)} présente des rendements d'échelle décroissants. E.g. (Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle k = 2} ) en doublant tous les facteurs, on fait moins que doubler la production.

La fonction de production Cobb-Douglas :

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle y = x_1^{a_1}x_2^{a_2} ... x_n^{a_n}}

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (kx_1)^{a_1}(kx_2)^{a_2} ... (kx_n)^{a_n} = k^{a_1 + ... + a_n}y}

Les rendements d'échelles sont :

constants si Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle a_1 + … + a_n = 1}
croissants si Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle a_1+ … + a_n > 1}
décroissants si Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle a_1+ … + a_n < 1} .

NB: Une technologie peut avoir des rendements d'échelles croissants, même si chaque facteur à une productivité marginale décroissante. Intuition ?

E.g. Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle y = x_1^{\frac {2}{3}}x_2^{\frac {2}{3}}} .

Taux marginal de substitution technique

Combien la firme doit-elle abandonner d'un input pour rajouter une unité de l'autre input sans changer la quantité produite ?

La pente d'une isoquante est le TMST.

Même calcul que le TMS.

La fonction de production :Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle y = f(x_1, x_2)}

Un petit changement (Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle dx_1, dx_2} ) dans le panier de bien crée le changement suivant dans la quantité produite : Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle dy = \frac {∂y}{∂x_1} dx_1 + \frac {∂y}{∂d_2} dx_2} .

Mais Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle dy = 0} le long d'une isoquante (par définition). Donc,

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle 0 = \frac {∂y}{∂x_1} dx_1 + \frac {∂y}{∂d_2} dx_2}

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \frac {∂y}{∂d_2} dx_2 = - \frac {∂y}{∂x_1} dx_1}

Soit,

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \frac {dx_2}{dx_1} = - \frac {\frac {∂y}{∂x_1}}{\frac {∂y}{∂x_2}}}

Est donc le taux auquel la firme doit échanger de l'input 2 contre de l'input 1 et garder la production constante..

Technologies "Normales"

Une technologie "Normale" est

continue ;
monotone ;

Convexe.

La Technologie

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