Théorie des jeux

2020-05-27T10:36:19Z

2A01:E0A:4D3:B970:2CC8:5CBE:41FF:D316 : /* Stratégies Pures */

La théorie des jeux est une approche visant à modéliser les comportements stratégiques des agents (individus, firmes, pays...).

Les agents prennent en compte la stratégie des autres pour définir leur plan d’actions.

Environnement ou les actions des agents ont un impact sur le gain des autres.

=Applications=

Oligopoles, cartels (OPEC)...

Externalités, bien public, ressources naturelles (tragédie des communs).

Théorie des contrats, processus de négociation.

Négociations internationales, conflits...

=Un jeu ?=

Un jeu consiste en,

*Un ensemble de joueurs,
*Un ensemble de stratégies pour chaque joueur,
*Un ensemble de gains pour chaque joueur, spécifiés pour chaque stratégie des autres joueurs.

Dans cette séance: seulement des jeux à deux joueurs, avec deux actions chacun.

NB: Une stratégie est un ensemble d’actions, contingente aux actions des autres joueurs.

=Une Stratégie=

Intuition: pour chaque action de l’autre joueur, elle spécifie l’action à prendre. Vous pourriez écrire une stratégie afin qu’un ami joue pour vous.

Concept de “Meilleure réponse” : meilleure action possible, étant donné l’action jouée par l’autre joueur.

=2 joueurs=

2 joueurs : 1 et 2.

*Joueur 1 : actions possibles, “Haut” et “Bas”.
*Joueur 2 : actions possibles,“Gauche” et “Droite”.

La table qui montre les gains de chaque joueur en fonction des actions jouées est appelée matrice des gains.

Les gains de 1 sont en premier dans la parenthèse, les gains de 2 sont en deuxième. Les joueurs jouent simultanément.

[[File:microéconomie théorie des jeux introduction 1.png|thumb|center|]]

E.g. 1 joue “Haut” et 2 joue “Droit”: gain de 1 est 1 et gain de 2 est 8.

Quels types de résultats sont les plus probables ?

Si 2 joue “D” quelle est la meilleure réponse de 1 ?

[[File:microéconomie théorie des jeux introduction 2.png|thumb|center|]]

(B,D) est crédible ?

Si 2 joue “D” quelle est la meilleure réponse de 1 ?

Si 1 joue “B” quelle est la meilleure réponse de 2 ?

[[File:microéconomie théorie des jeux introduction 3.png|thumb|center|]]

Si 1 joue “H” quelle est la meilleure réponse de 2 ?

Si 2 joue “G” quelle est la meilleure réponse de 1 ?

(H,B) ?

[[File:microéconomie théorie des jeux introduction 4.png|thumb|center|]]

=Équilibre de Nash=

Quand les stratégies sont des meilleures réponses les unes aux autres, on parle d’équilibre de Nash.

A un équilibre de Nash, un joueur obtient un gain maximal étant donné la stratégie de l’autre joueur.

Autre façon de l’interpréter: à un équilibre de Nash, aucun joueur ne veut changer d’action, étant donné la stratégie de l’autre joueur.

Notre exemple a deux équilibres de Nash; (H,G) et (B,D).

[[File:microéconomie théorie des jeux équilibre de Nash 1.png|thumb|center|(H,G) et B,D) sont des eq. de Nash.]]

L’équilibre (3,9) va-t-il être plus joué car préféré par les 2 joueurs ?

=Dilemme du prisonnier=

Jeu emblématique de la théorie. Permet d’illustrer que les situations Pareto-Optimale ne sont pas toujours naturellement choisies.

Bonnie et Clyde sont arrêtés par la police à bord d’une voiture volée. Un cadavre est dans le coffre. La police a des preuves suffisantes pour les inculper du vol de voiture, mais pas du meurtre : il faut un aveu.

Le sheriff interroge B et C séparément et leur propose un deal sur leurs peines respectives.

[[File:microéconomie théorie des jeux dilemme du prisonnier 1.png|thumb|center|.]]

Si Bonnie joue “Silence”, qu’elle est la meilleure réponse de Clyde ?

[[File:microéconomie théorie des jeux dilemme du prisonnier 2.png|thumb|center|.]]

Si Bonnie joue “Confession” qu’elle est la meilleure réponse de Clyde ?

[[File:microéconomie théorie des jeux dilemme du prisonnier 4.png|thumb|center|.]]

Quoi que joue Bonnie, Clyde va toujours jouer “confession”.

Confesser est une stratégie dominante pour Clyde. De même pour Bonnie.

[[File:microéconomie théorie des jeux dilemme du prisonnier 5.png|thumb|center|.]]

Le seul éq. de Nash du jeu: (C,C). Est-il efficace ? Conclusion ?

Une '''stratégie dominante''' est une stratégie qui apporte le gain maximal à un joueur, quelque soit la stratégie utilisée par les autres joueurs.

Un équilibre en Stratégie Dominante: quand chaque joueur utilise une stratégie dominante.

Concept d’équilibre plus fort que l’équilibre de Nash (eq. en strat dom. est toujours un eq. de Nash, l’inverse n’est pas vrai).

==Course aux armements==

Pur problème de coordination.

[[File:microéconomie théorie des jeux course aux armements 1.png|thumb|center|]]

N.B. ≠ du dilemme du prisonnier : ici deux équilibres – (Non, Non) et (Oui, Oui) – dont un Pareto supérieur.

==Jeu de la poule mouillée==

Conflit pur.

[[File:microéconomie théorie des jeu de la poule mouillée 1.png|thumb|center|]]

Solutions : engagement (on bloque le volant) ou jeux répétés (réputation)

N.B. deux équilibres – (Tout droit, Détour) et (Détour, Tout droit) – dont aucun n’est Pareto supérieur.

=Séquence=

Jusqu’à présent les joueurs jouaient simultanément.

Jeux simultanés.

Mais ils existe beaucoup de situation où les agents jouent en séquence.

=> Jeux séquentiels (ici à deux joueurs).

Le premier joueur est appelé le meneur, celui qui joue second est dénommé suiveur.

[[File:microéconomie théorie des jeux séquence 1.png|thumb|center|]]

Exemple précédent : (H,G) et (B,D) sont chacun des éq. de Nash du jeu simultané.

Supposons désormais que le jeu devienne séquentiel.1 joue premier, 2 second.

Nous pouvons réecrire le jeu dans sa forme étendue.

1 joue premier. 2 second.

[[File:microéconomie théorie des jeux séquence 2.png|thumb|center|]]

(H,G) est un equilibre de Nash.

[[File:microéconomie théorie des jeux séquence 3.png|thumb|center|]]

(B,D) est aussi un équilibre de Nash. La séquentalité nous permet-elle de “sélectionner “un eq. ?

[[File:microéconomie théorie des jeux séquence 4.png|thumb|center|]]

Si 1 joue H, alors 2 joue G; 1 obtient 3.

[[File:microéconomie théorie des jeux séquence 5.png|thumb|center|]]

:Si 1 joue H, alors 2 joue G; 1 obtient 3.
:Si 1 joue B, alors 2 joue D; A obtient 2.

[[File:microéconomie théorie des jeux séquence 6.png|thumb|center|]]

(H,G) est le seul éq. en sous-jeu.

[[File:microéconomie théorie des jeux séquence 7.png|thumb|center|]]

=Stratégies Pures=

[[File:microéconomie théorie des jeux stratégies pures 1.png|thumb|center|]]

2 eq. de Nash: (H,G) and (B,D).Une stratégie pure est une stratégie mixte sans probabilité. wsh

[[File:microéconomie théorie des jeux stratégies pures 2.png|thumb|center|]]

Un nouveau jeu. Existe-t-il un éq. en stratégies pures ?

Le jeu n’a pas d’éq. en stratégie pure. Cependant nous pouvons regarder les stratégies mixtes.

=Stratégies Mixtes=

Plutôt que de choisir une action “Haut” ou “Bas”, un joueur sélectionne des probabilités distribuées sur ces actions (<math>\pi_H, 1 - \pi_H</math>).

Avec une proba. <math>\pi_H</math> 1 va jouer “Haut” et avec une proba. <math>1 - \pi_H</math> il va jouer “Bas” (i.e. jette une pièce pour 50/50).

Le joueur 1 “mixe” sur les stratégies pures.

La distribution de proba. (<math>\pi_H, 1 - \pi_H</math>) est une stratégie mixte pour le joueur 1.

[[File:microéconomie théorie des jeux stratégies mixtes 1.png|thumb|center|]]

Comment trouve-t-on un éq. en stratégie mixte ?

[[File:microéconomie théorie des jeux stratégies mixtes 2.png|thumb|center|]]

Si 2 joue “Gauche” son gain espéré est <math>2 \pi_H + 5(1 - \pi_H)</math>

[[File:microéconomie théorie des jeux stratégies mixtes 3.png|thumb|center|]]

:2 joue “gauche” : <math>2 \pi_H +5(1 - \pi_H)</math>.
:2 joue “droite” : <math>4 \pi_H +2(1 - \pi_H)</math>.

[[File:microéconomie théorie des jeux stratégies mixtes 4.png|thumb|center|]]

Si <math>2 \pi_H + 5(1 - \pi_H) > 4 \pi_H + 2(1 - \pi_H)</math> 2 ne jouerait que “gauche”.

Mais on sait qu’il n’y a pas d’eq. de Nash dans lequel 2 joue toujours “gauche”. De même pour “droite”.

[[File:microéconomie théorie des jeux stratégies mixtes 5.png|thumb|center|]]

Donc, pour qu’un eq. existe il faut que 2 soit indifférent entre les deux actions : <math>2 \pi_H + 5(1 - \pi_H) = 4 \pi_H + 2(1 - \pi_H)</math> => <math>\pi_H = 3/5</math>

[[File:microéconomie théorie des jeux stratégies mixtes 6.png|thumb|center|]]

:1 joue “Haut”, gain espéré : <math>1 \times \pi_G + 0 \times (1 - \pi_G) = \pi_G</math>
:1 joue “Bas”, gain espéré : <math>0 \times \pi_G + 3 \times (1 - \pi_G ) = 3(1 - \pi_G)</math>

[[File:microéconomie théorie des jeux stratégies mixtes 7.png|thumb|center|]]

Si <math>\pi_G > 3(1 - \pi_G)</math> 1 jouerait toujours “haut”. Mais on sait qu’il n’existe aucun eq. dans lequel 1 joue toujours “Haut”. De même pour “bas”.

Donc, pour qu’un eq. existe il faut que 2 soit indifférent entre les deux actions : <math>\pi_G = 3(1 - \pi_G)</math> ⇒ <math>\pi_G = 3/4</math>.

Le seul éq. de Nash du jeu est en stratégies mixtes, avec 1 qui joue (3/5, 2/5) et 2 qui joue (3/4, 1/4).

[[File:microéconomie théorie des jeux stratégies mixtes 8.png|thumb|center|]]

Les gains vont être (1,2) avec une proba de :

[[File:microéconomie théorie des jeux stratégies mixtes 9.png|thumb|center|]]

Le gain espéré de 1 à cet équilibre : <math>1 \times \frac {9}{20} + 0 \times \frac {3}{20} + 0 \times \frac {6}{20} + 3 \times \frac {2}{20} = \frac {3}{4}</math>

Le gain espéré de 2 à cet équilibre : <math>2 \times \frac {9}{20} + 4 \times \frac {3}{20} + 5 \times \frac {6}{20} + 2 \times \frac {2}{20} = \frac {16}{5}</math>

=Exemple=

Exemple du jeu des tirs au but

*2 joueurs : Gardien et buteur
*2 stratégies : tirer/plonger à gauche/droite
*Hypothèse de « talent » des joueurs
**Le buteur ne tire jamais à coté
**Le gardien intercepte toujours si du bon coté

Quelle est la matrice des gains ?

[[File:microéconomie théorie des jeux exemple 1.png|thumb|center|Pas d’équilibre de Nash en stratégies pures !]]

Il existe cependant un équilibre en stratégies mixtes

Stratégie pour les 2 joueurs:

*Jouer G et D 50%du temps (1 fois sur deux).
*Chaque cas à une probabilité de 0.25.
*Le buteur marque un but sur deux, l’autre est arrêté par le gardien.

[[File:microéconomie théorie des jeux exemple 2.png|thumb|center|]]

=Stratégies pures, stratégies mixtes=

Vérifions que cet équilibre est bien un équilibre de Nash :

Le gardien joue G et D 50% du temps. Le buteur peut il augmenter son taux de succès en déviant de la règle 50- 50?

Si le buteur décide de jouer 60% à gauche et 40% à droite, son taux de succès est :

:::::<math>(0.6 \times 0.5) + (0.4 \times 0.5) = 0.5</math>
:::::<math>(0.3) + (0.2) = 0.5</math>

En choisissant 60-40, le buteur marque plus à gauche mais moins à droite. Son taux de succès est le même, il ne peut donc pas améliorer sa situation.

=Existence d’équilibre=

Résultat de Nash (années 1950): un jeu avec un nombre de joueurs fini, chacun avec un nombre de stratégie finie, possède au moins un équilibre.

Si un jeu n’a pas d’équilibre en stratégie pure, il doit avoir un équilibre en stratégies mixtes.

=Annexes=

*Universalis‎, Encyclopædia. “ÉQUILIBRE ÉCONOMIQUE.” Encyclopædia Universalis, www.universalis.fr/encyclopedie/equilibre-economique/10-l-equilibre-de-nash/.

=Références=
<references />

[[Catégorie:Économie]]
[[Catégorie:Microéconomie]]
[[Category:Jérémy Lucchetti]]
[[Category:2011]]
[[Category:2012]]
[[Category:2013]]
[[Category:2014]]

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